人教版数学八年级下册同步精品讲义第21课 一次函数全章复习与巩固（2份打包，原卷版+教师版）

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第21课  一次函数全章复习与巩固 课程标准1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 知识点01  函数概念理解1变量的定义在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。注：变量还分为自变量和因变量。2常量的定义在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。3函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．4函数的三种表示法（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．a、用数学等式表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。5求函数的自变量取值范围（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠0 。（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。6求函数值把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7画函数图象（1）：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；（2）：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；（3）：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．8判断y是不是x的函数A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多于一个、时，y不是x的函数；否则y是x的函数。知识点02  正比例函数1正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。注意：a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；b、比例系数k≠0；c、不含有常数项或常数项为0，只有x一次幂的单项而已；2正比例函数图像一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。3画正比例函数图像（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。知识点03  一次函数1一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意：a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；b、比例系数k≠0；c、常数项可有可无。2一次函数的图像一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．3系数k的意义k表征直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡；k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。4系数b的意义b是直线与y轴交点的纵坐标5当k>0时直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大，<6当k<0时直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y而减小，> 7与坐标轴交点直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）；与x轴的交点是点（-，0）8图像和解析式的系数之间的关系 9画一次函数图像（1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（-，0）；（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；（3）过点（0，b）与点（-，0）做一条直线．10待定系数法根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。步骤：a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）．b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．11解析式与图像上点相互求解①求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。②求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令12一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值． 13一次函数与一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围．用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。14一次函数与二元一次方程（组）1.解二元一次方程组可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标。2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。   考法01   函数的概念【典例1】在国内投寄平信应付邮资如表：信件质量x（克）0＜x≤2020＜x≤4040＜x≤60邮资y（元/封）1.202.403.60（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？（2）结合表格解答：①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义．②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？【答案】（1）y是x的函数；（2）①3.60，实际意义见解析；②大于20克，且不超过40克【解析】【分析】（1）根据函数的定义判断即可．（2）①②利用表格求出对应的函数值即可．【详解】解：（1）y是x的函数，理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应；（2）①当x=48时，y=3.60，实际意义：信件质量为48克时，邮资为3.60元；②邮资为2.40元，信件质量大约为大于20克，且不超过40克．【点睛】本题考查了函数的概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．考法02   一次函数的解析式【典例2】某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，当该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下表：印数x(册)500080001000015000…成本y(元)28500360004100053500…(1)若这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的表达式(不要求写出x的取值范围)．(2)如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【答案】（1）y＝x＋16000；（2）12800【解析】【详解】试题分析：设一次函数的表达式为：把点，代入即可求出一次函数的表达式.把代入一次函数解析式，计算即可求出.试题解析：设一次函数的表达式为则解得：一次函数的表达式为：当时，解得答：一次函数的表达式为：出版社投入成本元，能印该读物册 【即学即练】若一条直线与函数y＝3x﹣1的图象平行，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则该直线的函数解析式为_____．【答案】y＝3x+或y＝3x﹣．【解析】【分析】依题意设所求直线解析式为y＝3x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（，0），（0，b），由面积公式求b即可．【详解】设所求直线解析式为y＝3x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（，0），（0，b），由三角形面积公式得×|b|×||＝，即；解得：±，∴y＝3x+或y＝3x﹣，故答案为：y＝3x+或y＝3x﹣．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是解答本题的关键. 考法03   一次函数的图象和性质【典例3】已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则s的取值范围是（   ）A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣【答案】B【解析】【详解】试题分析：由直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限可得a＜0，b≤0，又因直线y=ax+b（a≠0）经过点（2，﹣3），可得2a+b=—3，所以，b=—2a—3，因此s=a+2b=a+2（—2a—3）=—3a—6，由a＜0可得s＞—6，‚s=a+2b=+2b=，由b≤0可得s≤—，所以s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．故答案选B．考点：一次函数图象与系数的关系．【即学即练】一次函数y=kx-(k-2)与在同一坐标系内的图象可以为（     ）A．AB．BC．CD．D【答案】D【解析】【详解】A.正比例函数的图像过二、四象限，所以k＜0，此时-(k-2)＞0，一次函数的图像应该与y轴正半轴相交，所以该选项错误；B.正比例函数的图像过二、四象限，所以k＜0，此时一次函数的图像应该过二、四象限，所以该选项错误；C.正比例函数的图像过一、三象限，所以k＞0，此时一次函数的图像应该过一、三象限，所以该选项错误；D.正比例函数的图像过一、三象限，所以k＞0，此时若k＜2，则一次函数的图像会过一、二、三象限，所以该选项正确；故选D.点睛:对于一次函数y=kx+b,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交.  考法04   一次函数与方程（组）、不等式【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线AB和直线BC相交于点，直线AB与y轴相交于点A，直线BC与x轴、y轴分别交于点，点C．(1)求直线AB的解析式．(2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标．(3)在（2）的条件下，点P是直线AB上一个动点，且点P在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于三角形ABC的面积．①求出点P的坐标．②画出所有情况并直接写出点Q的坐标．【答案】(1)y=x+4(2)（2，0）(3)①P（-2，2）；②画见解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）【解析】【分析】（1）设过点A，B的直线，求得b，k而求得直线解析式；（2）首先设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，则可求得k的值，所求直线后代入点A，求得c则得到直线；（3）在（2）的基础上，求得点P的有关坐标，求得△ABC面积，代入点P而求得点P，进而求得点Q．(1)解：设直线AB为y=kx+b，代入点B，A，则，解得b=4，k=1，∴直线AB为y=x+4；(2)设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，根据题意得：k=＝−2，则直线AE的直线为y=-2x+c，则代入点A得c=4，则直线AE为y=-2x+4，则点E为（2，0）；(3)①∵点D（-1，0）、点B（-2，2），设直线BD的解析式为y=mx+n，则，解得：，∴直线BD的解析式为：y=-2x-2，∴点C（0，-2），∴AC=6，∴S△ABC=×6×2=6，∵DE=2-（-1）=3，∴以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的高为6÷3=2，∵点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，∴点P的纵坐标为4，∴2=x+4，∴x=-2，即点P的坐标为（-2，2）；②若点Q在x轴上方，则PQ∥DE，且PQ=DE，此时点Q1（1，2），Q2（-5，2）；若点Q在x轴下方，则Q3（3，-2）；∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）．【点睛】本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线，直线间的交点，形成四边形而求面积．【即学即练】已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】（1）y＝﹣x+5；（2）点C（3，2）；（3）x＞3【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；（3）根据C点坐标可直接得到答案．【详解】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可知，当x＞3时，直线y＝2x﹣4位于直线y＝kx+b的上方，∴不等式2x﹣4＞kx+b的解集为x＞3．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点问题、解二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式，会运用图象法求解不等式的解集是解答的关键． 考法05   一次函数的应用【典例5】某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药时后血液中含药量最高，达微克/毫升，接着逐步衰减，服药时后血液中含药盘达微克/毫升，每毫升血液中含药盘（微克）随着时间（时）的变化如图所示．（1）当成人按规定剂量服用时，求出时，与之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效时间有多长?【答案】（1）；（2）6小时【解析】【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，当时与成一次函数关系；（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为4微克是在两个函数图象上都有，所以把，代入，求得开始到有效所用的时间，由图象可知衰减过程中时的时间，求其差即可求得答案．【详解】解：（1）当时，设，把，代入上式，得：，解得：，时，；（2）当时，设，把代入上式，得，时，，把代入，可得，把代入；解得：，，这个有效时间是6小时．【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．考法06   一次函数综合【典例6】如图所示，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，且与x轴交于点C．已知直线的解析式为y=x+4．（1）求直线的解析式；（2）D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由直线的解析式，得到A、B点的坐标，进一步由对称得到C点的坐标，然后由B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2) 作点D关于BC对称点，连结PD′，OD′，则,P的坐标即为直线与直线的交点坐标，据此求解即可．【详解】解:(1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：，则： 解得：．∴直线BC解析式为：．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．如下图：∵，∴∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，,∴ ∠BCO＝45°，∴∠＝90°，又∵为中点∴,∴，∴．联立：  得：∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式，点在直线上运动时线段和最值问题，根据题意画出相关图形是解题关键点．