广东省2023届高三上学期开学联考数学试卷

广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知复数满足，则的虚部为（　　）

A．1 B．-1 C． D．

2．集合，，则（　　）

A． B． C． D．

3．在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（　　）

A． B．

C． D．

4．如图所示的三棱锥中，面，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A． B．27π C．54π D．108π

5．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（　　）

A． B．

C． D．

6．在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．已知，数列满足，且对一切，有，则（　　）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等比数列 D．是等比数列

8．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．已知，，则（　　）

A．

B．曲线在处的切线斜率为1

C．在上单调递增

D．的最小值为

10．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（　　）

A．若直线经过原点，则四边形为矩形

B．四边形的周长为20

C．的面积的最大值为12

D．若直线经过，则到直线的最大距离为8

11．直六棱柱中，底面是边长为2的正六边形，侧棱，点是底面的中心，则（　　）

A．平面

B．与所成角的余弦值为

C．平面

D．与平面所成角的正弦值为

12．已知直线，曲线，曲线关于直线对称的曲线所对应的函数为，则以下说法正确的是（　　）

A．不论为何值，直线恒过定点；

B．；

C．若直线与曲线相切，则；

D．若直线上有两个关于直线对称的点在曲线上，则.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中的常数项为　     　．

14．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为　        　．

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　     　．

16．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为　             　．

四、解答题（共6题，共70分）

17．已知数列的前项和为，，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和．

18．已知锐角中，角、、所对边为、、，且．

（1）求角；

（2）若，求的取值范围．

19．如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．

（1）设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；

（2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望．

21．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线、、的斜率分别为、、，求证：．

22．已知函数，．

（1）当时，比较与2的大小；

（2）求证：，．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】由，得，从而，所以的虚部为1．

故答案为：A

【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，即可求解出答案.

2．【答案】D

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】因为，，所以．

故答案为：D

【分析】求出集合A、B，利用交集定义能求出A∩B.

3．【答案】A

【知识点】平面向量的线性运算

【解析】【解答】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，，

所以，，

所以．

故答案为：A

【分析】 由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解出答案.

4．【答案】B

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】【解答】将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

所以为外接球的直径，则可得，即，

所以外接球的表面积为．

故答案为：B．

【分析】将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，PC为外接球的直径，利用球的表面积公式求解出该三棱锥的外接球的表面积 .

5．【答案】C

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，

所得图像所表示的函数是，

再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是．

故答案为：C．

【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出答案.

6．【答案】B

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】在0至5这6个数字中任选3个不同的数，共可组成个三位数，

其中共有个偶数，

由古典概型概率计算公式有．

故答案为：B．

【分析】 求出在0至5这6个数字中任选3个不同的数的个数，求解偶数个数，然后利用古典概型概率计算公式，求解出该数为三位偶数的概率 .

7．【答案】D

【知识点】对数的性质与运算法则

【解析】【解答】由题意知，所以，所以，，所以是等比数列，且，

所以，A，B，C不符合题意，D符合题意.

故答案为：D．

【分析】 由已知条件可得，再利用等比数列的定义，即可求解出答案.

8．【答案】A

【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】设，，

因为，令，得；

令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

而，

，

，

因为，所以．

故答案为：A．

【分析】先利用对数函数的运算法则变形a，b，c，再构造函数，并判断单调性，进而可得答案.

9．【答案】B,C,D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【解答】解：A：因为，所以，故不正确；

B：曲线在处的切线斜率为，故正确；

C：令，解得，所以的单调增区间为，所以在上单调递增，故正确；

D：因为在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，故正确．

故答案为：BCD．

【分析】 ，求出，逐项进行判断，即可得出答案.

10．【答案】B,C

【知识点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】解：A：若直线经过原点，易知四边形为平行四边形，因为不一定与相等，所以不一定是矩形，故不正确；

B：四边形的周长为，故正确；

C：的面积的最大值为，故正确；

D：若直线MN经过，则到直线的最大距离为，故不正确．

故答案为：BC．

【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质，逐项进行判断，即可得答案.

11．【答案】A,B,D

【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；余弦定理

【解析】【解答】对于A：记，连接，易得，从而//平面，A符合题意；

对于B：因为，所以与BC所成角即为（或其补角），易得，，，由余弦定理，得，B符合题意；

对于C：因为，所以BO不与AO垂直，所以BO不与平面垂直，C不正确；

对于D：取中点H，连接、FH，易证面，所以是与平面所成的角，在中，，，，所以，D符合题意．

故答案为：ABD．

【分析】 利用线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角的求法，判断B；根据线面垂直定义，举反例，可判断C；根据线面角的求解判断D.

12．【答案】A,C,D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【解答】选项：直线中，令，得，与a无关，故正确；

B：设是曲线上任意一点，M关于直线的对称点为，

则，所以，即，则，

从而，故不正确；

C：由，得，

设切点为，则切线斜率，

所以，从而，故正确；

D：直线上有两个关于直线对称的点在曲线上，

等价于直线与曲线有两个不同的交点．

方程，即有两个解，

设函数，，，

令，解得，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以，

又当趋近于正无穷时，趋近于，当趋近于时，趋近于负无穷，

所以，故正确．

故答案为：ACD．

【分析】利用直线系方程判断A；求出曲线关于直线的对称曲线的方程判断B；设切点，求得过求得的切线方程，由斜率与斜率相等，截距与截距相等列式求a判断C；问题转化为利用导数求最值，进一步求得a的范围判断D.

13．【答案】1120

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】因为的展开式的通项为：，

令，得，

所以的展开式的常数项为．

故答案为：1120.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项.

14．【答案】x+y-2=0

【知识点】斜率的计算公式

【解析】【解答】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，

所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，

所以，

所以直线的方程为，即；

方法2：设，，则由，可得，

同理可得，

所以直线的方程为x+y-2=0.

故答案为：x+y-2=0

【分析】 求出以P (2， 2)， C (0， 0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减，即可求解出直线的方程 .

15．【答案】

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，

构成首项为8，公差为的等差数列，

所以，，

从而，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

【分析】 利用公式法可得an，Sn，利用基本不等式即可求出 的最小值 .

16．【答案】

【知识点】轨迹方程

【解析】【解答】延长，交于，因为，，

，所以，所以，

所以，

因为M是双曲线C右支上一点，所以，

又因为P是的中点，O是的中点，所以，

所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，

所以点P的轨迹方程为．

故答案为：.

【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点P的轨迹方程.

17．【答案】（1）证明：因为，，所以，且，两式相减，得，

所以，所以，即（且），所以数列是等差数列．

（2）解：因为，，所以，由（1）知数列是等差数列，公差为，

所以，

所以，，

所以当时，，

当时，等式也成立，所以，．

【知识点】数列的求和；数列的递推公式

【解析】【分析】(1)由 ，，可得n≥2且n∈N*时， ， 相减化为 ，两边同时除以2n+1得 ，进而化为 ，即可证明出数列是等差数列；
(2)由 ，， 可得 ，由（1）知数列是等差数列，利用通项公式可得bn，由条件式 ，可得数列的前项和．

18．【答案】（1）解：因为，所以，

所以，从而，

即，

所以，因为，所以．

（2）解：因为，，由正弦定理，有

所以，，

所以，

又因为为锐角三角形，

所以，即，所以，

所以，从而的取值范围为．

【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理

【解析】【分析】 (1)等式整理，由两角和的正切公式整理可得tanA的值，再由A的范围，求出A的值；
(2)由(1)及余弦定理，均值不等式可得 的范围，再由三角形中，两边之和大于第三边，可得 的取值范围．

19．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以，

因为是等边三角形，D是AB的中点，所以，

因为，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以，平面平面．

（2）解：取中点，连接、，

记，则是中点，连接，则平面平面，

因为平面，平面，

所以，

因为是中点，

所以是中点．

所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图，

则，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，即，令，得，

因为平面，

所以平面的一个法向量为，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角

【解析】【分析】(1)根据题意证明 平面， 即可证明出平面平面；
(2) 取中点，连接、，记，则是中点，连接， 进而得 是中点 ，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用坐标法求解出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．【答案】（1）解：甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，

所以，，，

令，得；令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为．

（2）解：由（1）知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为

，

，

，

所以X的分布列为

X的数学期望.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差

【解析】【分析】(1)根据题意，求得f(p)，再判断单调性，求其最值，即可求出 的最大值；
(2)求得X的所有可能的取值，再求概率及分布列，即可求出 的分布列和数学期望．

21．【答案】（1）解：由题意，知，所以，所以拋物线C的方程为．

（2）证明：因为直线过抛物线C的焦点，由题意知，直线斜率不为0，所以设的方程为，

设，，联立，消去得，

即，所以，，

所以

，

因为，，所以，

所以．

【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意可得 ，解得p，即可求出抛物线的方程；
(2) 设的方程为， ， ，联立直线AB与抛物线的方程，结合韦达定理可得 ， ，再计算 与 ， 即可证得 ．

22．【答案】（1）解：当时，，，

所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，

（2）证明：由（1）知，当时，，即，令，，

则有，即，

所以，

即，．

【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】(1)当k= 4时， ，，求导分析单调性，又f(1)=0，分析f(x)的符号，即可得出 与2的大小；
(2)由(1)得，当x>1时， ， 令，，则有，由n放缩法，即可证出结论.