四川省成都市双流区圣菲中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市双流区圣菲中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市双流区圣菲中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每题4分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x+＝2 C．x2﹣1＝0 D．x2+＝﹣1
2．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）

A． B．
C． D．
3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（4，1）
4．下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
5．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
6．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点
7．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B．2 C． D．
二、填空题（共5小题，每小题4分）
9．若，则＝　 　．
10．抛物线y＝2（x+2）2的顶点坐标是 　 　．
11．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC上，且AE＝AD，则∠CDE＝　 　．

12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为点C，若AC＝2BC，则该反比例函数的表达式为 　 　．

13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝34°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD．则∠CBD的度数为 　 　．

三.解答题（共5小题，共48分）
14．（1）计算：（﹣3）0+|﹣2|﹣tan60°；
（2）解不等式组：．
15．为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．
组别
频数统计
A（t＜20）
8
B（20＜40）
12
C（40t＜60）
a
D（60≤t＜80）
15
E（80）
b
请根据如图图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有　 　人，a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．

16．如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

17．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，求AH的长．

18．如图，二次函数图象的顶点是P（2，﹣1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求的值．

一.填空题（共5小题，每题4分）
19．已知线段AB＝4cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　 　．
20．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，若△ABC的面积为40，则m＝　 　．
21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 　 　个．
22．如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝　 　．

23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，O，P分别是边AB，AD的中点，H是边CD上的一个动点，连接OH．将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE的最小值是 　 　．

二、解答题（共30分）
24．某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？

25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

（1）如图1，当α＝0°时，＝　 　，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 　 　；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．



参考答案
一、选择题（共8小题，每题4分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x+＝2 C．x2﹣1＝0 D．x2+＝﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A、2x+1＝0，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x+＝2，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
D、x2+＝﹣1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．

故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（4，1）
【分析】将（3，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
解：因为反比例函数y＝的图象经过点（3，2），
故k＝3×2＝6，只有C中﹣3×（﹣2）＝6＝k．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
4．下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
解：正方形是中心对称图形，也是轴对称，A错误；
矩形是中心对称图形，也是轴对称，B错误；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，C错误；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
解：∵A（1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：D．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
6．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点
【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；通过判断﹣3（x+1）2+1＝0的根的情况对D进行判断．
【解答】A．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象开口向下，故A选项不符合题意；
B．对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意；
C．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象的顶点坐标为（﹣1，1），故C选项符合题意；
D．当y＝0时，﹣3（x+1）2+1＝﹣3x2﹣6x﹣2＝0，△＝36﹣24＝12＞0，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有2个交点，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
7．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．
8．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】连接小正方形的对角线，证明△BCD是直角三角形，再利用sin∠ABC与它的余角的正弦值相等解答即可．
解：如图所示，连接小正方形的对角线CD，

设每个小正方形的边长为1，则CD＝，＝，BD＝，
∵，
即CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分）
9．若，则＝　　．
【分析】利用设k法来解答是解题的关键．
解：∵，
∴设a＝4k，b＝7k，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10．抛物线y＝2（x+2）2的顶点坐标是 　（﹣2，0）　．
【分析】由抛物线的顶点式直接可以求得．
解：因为y＝2（x+2）2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
11．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC上，且AE＝AD，则∠CDE＝　15°　．

【分析】首先证明∠DAE＝∠AEB＝30°，利用等腰三角形的性质即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，BC＝AD，
∵BC＝2AB，AD＝AE，
∴AE＝2AB，
∴sin∠AEB＝＝，
∴∠AEB＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝90°﹣75°＝15°，
故答案为15°．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为点C，若AC＝2BC，则该反比例函数的表达式为 　y＝　．

【分析】过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，由一次函数解析式求得A、B的坐标，证明△BCM∽△BAO，利用AC＝2BC求出CM＝2，再把x＝2代入一次函数解析式求出点C坐标，进而即可求出反比例函数的解析式．
解：过C点作CM⊥y轴于M点，作CN⊥x轴于N点，
直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（﹣6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，

∵AC＝2BC，
∴＝，
∵∠BMC＝∠BOA＝90°，∠MBC＝∠ABO，
∴△BCM∼△BAO，
∴＝，即＝，
∴CM＝2．
把x＝2代入y＝﹣x+6得，y＝4，
∴C点的坐标为（2，4），
把（2，4）代入y＝（x＞0）中，
可得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质等，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C点的坐标是解决此题的关键．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝34°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD．则∠CBD的度数为 　39°　．

【分析】利用基本作图得到D点在AB的垂直平分线上，则DA＝DB，所以∠ABD＝∠A＝34°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABC＝∠C＝73°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
解：由作法得D点在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝34°，
在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝34°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣34°）＝73°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝73°﹣34°＝39°．
故答案为：39°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
三.解答题（共5小题，共48分）
14．（1）计算：（﹣3）0+|﹣2|﹣tan60°；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、锐角三角函数计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）原式＝1+2﹣
＝1+2﹣3，
＝0．
（2），
由①得x＞﹣3，
由②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】此题考查了实数的运算及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
15．为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．
组别
频数统计
A（t＜20）
8
B（20＜40）
12
C（40t＜60）
a
D（60≤t＜80）
15
E（80）
b
请根据如图图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有　60　人，a＝　18　，b＝　7　，m＝　25　；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．

【分析】（1）B组的频数为12，占总体的20%，可求出调查人数，再根据D组频数为15，可求出D组所占的圆心角的度数，确定m的值，根据C组所在扇形的圆心角为108°，
求出C组所占的百分比，进而求出C组的人数a，最后求出E组人数b；
（2）求出E组所占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；
（3）从频数统计表中可知每天健身时间不少于 1 小时的人数占调查人数的，因此估计总体1200人的是每天健身时间不少于 1 小时的人数．
解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，
∵C组所在扇形的圆心角为108°，
∴C组的人数a＝60×＝18（人），
b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），
故答案为：60，18，7，25；
（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝42°，
答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；
（3）每天健身时间不少于 1 小时的人数是1200×＝440（人），
答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．
【点评】考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
16．如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】首先过点A作AE⊥CD于E，可得四边形ABCE是矩形，即可得BC＝AE＝60米，然后分别在Rt△ACE中，EC＝AE•tan∠EAC与在Rt△ADE中，DE＝AE，继而求得大厦的高度．
解：过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝60米，
∴AE＝BC＝60米，
∴在Rt△AEC中，EC＝AE•tan∠EAC＝60×tan37°≈45（米），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝60（米），
∴DC＝DE+CE＝60+45＝105（米）．
答：该大厦的高度约为105米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角的问题．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
17．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，求AH的长．

【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用AAS证明△AED≌△FEC可证明结论；
（2）根据平行线的性质及∠DAF＝∠GAF可求得AG＝GF＝7，再利用CG＝3可得AD＝CF＝10，通过证明△AHD∽△GHC列比例式可求得，进而求解AH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝7，
∵CG＝3，
∴AD＝CF＝9，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴，
∴，
∴AH＝．

【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AED≌△FEC是解题的关键．
18．如图，二次函数图象的顶点是P（2，﹣1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求的值．

【分析】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）①令y＝0求出点A的坐标，然后求出∠PAB＝45°，再求出∠BAQ＝45°，然后求出直线AQ的解析式，再与二次函数解析式联立求出点Q的坐标，再利用勾股定理列式求出AP、AQ的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S△APM：S△AMQ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可．
解：（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
将点B（3，0）代入得，a（3﹣2）2﹣1＝0，
解得a＝1，
所以，函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
即y＝x2﹣4x+3；

（2）①令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，﹣1），
∴∠PAB＝45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ＝90°﹣45°＝45°，
∴直线AQ的解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得，，
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，AP＝＝，
AQ＝＝3，
∴S△PAQ＝××3＝3；

②∵点P（2，﹣1），Q（4，3），
∴S△APM：S△AMQ＝1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
∴＝＝．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，两点间的距离的求解，等底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底边的比．
一.填空题（共5小题，每题4分）
19．已知线段AB＝4cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　2﹣2　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
20．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，若△ABC的面积为40，则m＝　16　．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得CD的长，再根据直角三角形高与斜边的关系求得m的长．
解：∵AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，
∴AD+DB＝AB＝20，AD•DB＝m；
∵△ABC的面积为40，
∴S△ABC＝CD•AB＝CD×20＝40；
∴CD＝4；
∵在直角△ABC中，Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴CD：BD＝AD：CD；
∴CD2＝AD•DB＝m＝16，∴m＝16．

【点评】本题利用了一元二次方程的根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质，直角三角形的面积公式求解．
21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 　12　个．
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
解：估计这个口袋中红球的数量为20×＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
22．如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝　2　．

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，设E（a，），利用BE＝4CE得到B（5a，），根据反比例函数比例系数k的几何意义，利用四边形ODBE的面积＝S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△AOD得到5a•﹣k﹣k＝8，然后解方程即可．
解：设E（a，），
∵BE＝4CE，
∴B（5a，），
∵四边形ODBE的面积＝S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△AOD，
∴5a•﹣k﹣k＝8，解得k＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，O，P分别是边AB，AD的中点，H是边CD上的一个动点，连接OH．将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE的最小值是 　　．

【分析】如图，连接EO、PO、OC．根据三边关系，PE≥OE﹣OP，求出OE，OP即可解决问题．
解：如图，连接EO、PO、OC．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠OAP＝90°，
在Rt△OBC中，BC＝4，OB＝1，
∴OC＝，
在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝2，
∴OP＝，
∵OE＝OC，PE≥OE﹣OP，
∴PE的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、解答题（共30分）
24．某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？

【分析】（1）观察函数图象，根据图象上给出的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用销售总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+80（20≤x≤80）．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60．
答：销售单价应定为40元/个或60元/个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

（1）如图1，当α＝0°时，＝　2　，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 　60°　；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．

【分析】（1）先求出BC，AA1＝A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD＝120°，即可得出结论；
（3）①当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
∵B1是BC的中点，A1是AC的中点，
∴BB1＝BC＝2，AA1＝AC，
∴＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为2，60°；

（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，

由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴＝2，＝2，
∴＝，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；

（3）①由题意，AC＝2，AB＝2，CA1＝1，
当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，最大值＝×2×3＝3；

②在图1中，在Rt△A1B1C中，A1B1＝A1C＝，当点B1在BA1的延长线上时，如图3，

∵A1，B1，B三点共线，
∴∠BA1C＝∠B1A1C＝90°，
在Rt△A1BC中，A1B＝＝＝，
∴BB1＝A1B+A1B1＝+；
当点B1在线段A1B上时，如图4，

同①的方法得，A1B＝，
∴BB1＝A1B﹣A1B1＝﹣，
即线段BB1的长为+或﹣．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．

【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出BP，AP，BQ的解析式，联立方程组可求解．
解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当＝时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝＝4，
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝＝，
综上所述：BC的长为4或；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，

∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．