山西省吕梁孝义市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）

数学

注意事项：

1、本试卷分第I卷和第II卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

3、考试结束后，只收回答题卡.

第I卷  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）

1.下列方程是关于的一元二次方程的是

A.  B.

C.  D.

2.如图，将含有角的三角尺，以点中心，顺时针方向旋转，使得点在同一直线上，则旋转角的大小是

A. B. C. D.

3.方程的两个实数根是

A.  B.，

C.，  D.，

4.将关于的方程配方成的形式，则的值是

A.1 B.28 C.17 D.44

5.如果关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是

A. B. C. D.

6.将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是

A.  B.

C.  D.

7.冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人.在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染.若每轮感染中平均一只动物会感染只动物，则下面所列方程正确的是

A.  B.

C.  D.

8.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是

A.，  B.，

C.，  D.，

9.二次函数的图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是

A.开口方向向上  B.当时，随增大而增大

C.函数图象与轴没有交点 D.函数有最小值是

10.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是

A. B.

C. D.

第II卷  非选择题（共90分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.如图，在中，，半径与交于点，若，，则______cm.

12.2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转______°能与原雪花图案重合.

13.已知点和点是二次函数（为常数）的图象上两点，则和的大小关系是______.

14.2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为，则依题意可列方程为______.

15.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，且其周长是20，则四边形的面积的最大值是______.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解方程（每小题5分，共10分）

（1）

（2）

17.（本小题5分）如图，以的顶点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，交的延长线于点.

求证：.

18.（本小题8分）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，.点是内的一点.

（1）以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的，并写出，，的坐标：______，______，______

注：点与，与，与分别是对应点.

（2）点的对应点的坐标是______

（3）若以点为中心，把逆时针旋转，则点的对应点的坐标是______，点与点关于______对称.（填写“轴、轴或原点”）

19.（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：

一元二次方程在几何作图中的应用

如图1，在矩形中，，.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形的周长和面积的2倍.

图1  图2

因为矩形的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.

若设所求作的矩形一边的长为，则与其相邻的一边长为.

所以，得.

解得，.

当时，；当时，.

所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.

如图2，在边的延长线取点，使得.在上取.

以和为邻边作出矩形.

则矩形的周长和面积分别是矩形的周长和面积的2倍.

学习任务：

（1）在作出矩形的过程中，主要体现的数学思想是______；（填出序号即可）

A.转化思想  B.数形结合思想

C.分类讨论思想  D.归纳思想

（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.

20.（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一.如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度米，在水面的跨度米，桥面距水面的垂直距离米，以桥面所在水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系

（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；

（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？

图1  图2

21.（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：

数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“______”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？

解：设…

根据题意，所列出方程：.

…

根据小明所列方程，完成下列任务：

（1）填空：数学问题中“______”处短缺的条件是______.小明所列方程中未知数的实际意义是______

（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.

22.（本小题12分）综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，点是边上一点，将以点为中心，顺时针旋转，得到，连接.过点作，垂足为.试猜想与的数量关系，并证明.

（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；

（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接，他们认为平分.请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；

（3）问题解决：在图2中，若，则四边形的面积为______（直接写出答案即可）

图1  图2

23.（本小题13分）综合与探究

已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一个动点.

（1）求出点，，的坐标；

（2）如图1，当点在第四象限时，求出面积的最大值，并求出这时点坐标；

（3）当时，求出点的坐标.

图1  备用图

2024学年第一学期九年级期中质量监测试题

数学参考答案

一、选择题：

1-10：DDCAB BCDCC

二、填空题：

11.2；12.60°；13.14.15.50.

三、解答题：

16.解： （1），

（2），

注：阅卷组自行制定评分细则

17.证明：∵，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴

∴

18.解：（1）画图略，画图正确.

，，.

（2）.

（3），原点.

19.解：（1）B；

（2）不存在.

理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形的周长和面积的，

则所求的矩形周长为7，面积为6

设所求的矩形一边长为，则与其相邻的另一边的长为.

所以，得

整理，得

因为.

所以该方程无解.

所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形的周长和面积的

20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为.

∵，∴点坐标为.

∵，根据对称性可知，点坐标为.

把，代入，

得

解得

∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.

（2）∵

.

∴该函数的顶点为.

∵.

∴桥拱最高点到水面的距离是16米.

21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了元.

（2）设每件商品的定价为元，根据题意可列方程

.

整理，得.

解得，.

为了让每位顾客得到更大的实惠，所以舍去.

答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.

22.（1）.

证明：∵是由顺时针方向旋转得到的，

∴，

∴

∵，

∴.

（2）连接.

∵四边形是正方形，

∴，

由（1）可知，，

∴.

∵

∴.

∴.

∵，

∴，

∴，即平分.

（3）196

23.解：（1）当时，.

解得，.

∴点，.

当时，，

∴点

（2）如图，过点作轴，垂足为，并且交直线于点.

过点作，垂足为.

设的解析式为.

把点，点代入，得，

解得，.

∴直线的解析式为.

设点，则点.

则.

∵

.

∴.

.

∵，

∴当时，有最大值，的最大值为.

（3）∵点，点.

∴.

∵，∴.

设点.

如图，当点在轴下方时，过点作，垂足为.

∵，.

∴

∴.

∴.

解得或（舍去）.

当时，.

∴点坐标为

如图，当点在轴上方时，过点作，垂足为.

∵，.

∴

∴.

∴

解得或（舍去）.

当时，.

∴点坐标为.

∴当时，点或