重庆市第二十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

重庆二十九中2023-2024学年度上期

高二年级数学10月考试题卷

（命题人：    满分：150分    时间：120分钟）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 过 两点的直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.

【详解】由已知直线的斜率为 ，

所以倾斜角．

故选：D.

2. 已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ）

A. 2 B. 或1 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解.

【详解】，，得，所以，

因为，则，得，

所以.

故选：A

3. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.

【详解】解：由题意可得：，，，．

∴，

故选：D.

4. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（    ）

A. 5 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以为一组基底，表示求解.

【详解】解：以为一组基底，

则，

，

，

，

，

，

，

所以.

故选：D

5. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：取中点，连接，为的中点，连接，先证明平面，即可得出，根据勾股定理求出.然后由，得出或其补角等于异面直线和所成的角，在中，即可求出答案；解法二：先证明平面，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出，即可根据数量积公式，求出答案.

【详解】解法一：

如图1，取中点，连接，为的中点，连接，

易知底面，

因为平面，所以平面底面.

又平面底面，，

所以平面.

因为平面，所以.

同理可得，.

设底面半径为，，.

因为分别为的中点，所以，

则在中，或其补角等于异面直线和所成的角.

所以.

解法二：

如图2，为的中点，连接，

易知底面，

因为平面，所以平面底面.

又平面底面，，

所以平面.

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，

则，，，，

所以，，

记所求角为，则.

故选：C.

6. 如图，平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，表示出，，计算，即可求得答案.

【详解】设，则，

三向量的夹角皆为，

由题意可得，，

故

，

即，所以与所成角的大小为，

故选：C

7. 在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解.

【详解】，，，

 ，

即，

即，解得，

又因为，

所以，即，，

，

故选：D

8. 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可.

【详解】由题意，，则,，

，

，即，

，解得.

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，每小5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 两直线与互相平行的条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据两直线平行斜率相等截距不相等可得答案.

【详解】时，两直线分别为与互相垂直，不满足题意；

所以，

根据两直线平行可得，所以，又两直线不重合，

所以时，；时，．

故选：CD.

10. 已知空间中三点，，，则（    ）

A.

B. 与方向相反的单位向量的坐标是

C.

D. 在上的投影向量的模为

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项，验证是否等于0即可；B选项，与方向相反的单位向量为，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使即可；D选项，在上的投影向量的模为，据此可判断选项正误.

【详解】由题， .

A选项，，则，故A正确；

B选项，，则，故B正确；

C选项，设，则，即不存在，故C错误；

D选项，，则，故D错误.

故选：AB

11. 下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则

B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则

C. 两个不同的平面的法向量分别是，则

D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则

【答案】AC

【解析】

【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.

【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，

则，所以，即，故正确；

对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即或，故B错误；

对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，

则，所以，故C正确；

对于D，直线方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即，故D错误．

故选：AC．

12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）

A. 存在点，使得

B. 存在点，使得异面直线与所成的角为

C. 三棱锥体积的最大值是

D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，对选项A，假设存在点，根据即可判断A正确，对选项B，假设存在点，根据无解即可判断B错误，对选出C，连接，根据即可判断C正确，对选项D，设直线与平面所成的角为，得到，

再根据函数的单调性即可判断D正确.

【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，，，

；

对于A，假设存在点，使得，

则，又，

所以，解得：，

即点与重合时，，A正确；

对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，

因为，，

所以，方程无解；

所以不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误；

对于C，连接；

设，

因为，

所以当，即点与点重合时，取得最大值；

又点到平面的距离，

所以，C正确；

对于D，由上分析知：，，

若是面的法向量，则，

令，则，

因为，设直线与平面所成的角为，，

所以，

当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，

因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知，若，则________．

【答案】

【解析】

分析】根据，解得m，n求解.

【详解】由题意可知n不为0，

因为，且，

所以，解得，

所以，

故答案为：

14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求的值．

【详解】在中，因为，，，则，

由正弦定理，可得：．

故答案为：．

15. 两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为___________．

【答案】或

【解析】

【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况.

【详解】由题意，得，

所以，

因为，所以，，

因为，所以，则，同理：，

因为异面直线a，b所成的角为，

当的夹角为时，，

所以，则，即，故；

当的夹角为时，，

所以，则，故；

综上：线段的长为或.

故答案为：或.

.

16. 已知等腰内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角为.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，如图，

依题意，平面，于是得平面，

且是二面角的平面角，即，在平面内过点O作，

因此射线两两垂直，以点O为原点，射线分别为非负半轴建立空间直角坐标系，

令，则，设点，显然有，

于是得，令直线AC与直线OM所成的角为，

因此

，

当且仅当，即时取等号，显然直线AC与直线OM为异面直线，即，

而余弦函数在上单调递减，因此取最大值时，角取最小值，，

所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知直线，.

（1）若直线l与直线垂直，求实数的值

（2）若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.

【答案】（1）或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；

（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.

【小问1详解】

因为直线l与直线垂直，

所以，解得或.

【小问2详解】

令，得，令，，

由题意知，解得或，

所以直线l的方程为或.

18. 已知的内角所对的边分别为，且，.

（1）若，求的值；

（2）若的面积，求的值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）先求出，再利用正弦定理求解；

（2）利用的面积求出，再利用余弦定理求出得解.

【小问1详解】

，且.

由正弦定理得，所以.

【小问2详解】

.

由余弦定理得.

19. 如图，四棱柱为平行六面体，为的中点．

（1）若点满足，求证：四点共面；

（2）若为正方体，求直线平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）用向量证明即可；（2）用空间向量求角度.

【小问1详解】

证明：在四棱柱为平行六面体中，

，

如图在的延长线上取，则，

则，

，所以，

即，

所以四点共面.

【小问2详解】

正方体，以为原点，

所在直线轴如图建立空间直角坐标系，

设，

则，

设平面的一个法向量为，

，

则，令，则，

所以，，

，

所以直线平面所成角的正弦值.

20. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数；

（2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图可得答案；

（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有人，按照比例抽样，利用古典概型可解.

【小问1详解】

设女生一周阅读时间的分位数为a，，解得；

【小问2详解】

由频数分布表，频率分布直方图知，

一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有（人），

若从中按比例分别抽取7人，则男生有2人，记为，，

女生有5人，记为，，，，，

则样本空间，

共有21个样本点．

记事件A＝“恰好一男一女”，

则包含10个样本点，

故所求概率．

21. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面间的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连，可证四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定定理可得平面；

（2）根据平面，转化为求点到平面的距离，取的中点，连，可证平面，以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.

【小问1详解】

取的中点，连，

因为为的中点，所以，，

又，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面.

  .

【小问2详解】

因为平面，所以点到平面的距离即为所求.

因为，

取的中点，连，则四边形为矩形，，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，

因为，，平面，

所以平面，因为，所以平面，

因为，所以平面平面，

以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

因为平面，平面，所以，

在中，，，所以，

因为，所以，因为是三角形内角，所以，

所以，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，，，

所以点到平面的距离为.

故直线与平面间的距离为.

22. 如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．

（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；

（2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；

【答案】（1）；   

（2）是，.

【解析】

【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，由直线与垂直，即可列式求解；

（2）设平面与平面的夹角为，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解．

【小问1详解】

在图2中，取中点，中点，连接，，

因即，所以,

所以,又因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

由题意可知,

以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

设，，则，

所以，，，，

所以，，

因为直线与垂直，

所以，

即，解得：（舍）或，

所以，，

所以图1中点在靠近点的三等分点处，

所以，

所以；

【小问2详解】

设平面与平面的夹角为，

平面的法向量，，，

设平面的法向量，

则，即，取，得，,

得，所以，

所以，

所以无论点的位置如何，平面与平面的夹角余弦值都为定值．