江苏省扬州市仪征市大仪中学2023-2024学年八年级上学期第一次阶段性小练习数学试卷（月考）

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2023-2024学年大仪中学八年级第一次数学小练习一、选择题（每小题3分，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．故选：C．2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　）A．90° B．105° C．120° D．135°【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，∴∠1+∠3＝90°，又∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．3．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．4．等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　）A．16 B．27 C．16或27 D．21或27【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长＝11+11+5＝27；②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，∵5+5＝10＜11，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选：B．5．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解答】解：如图所示，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个三角形和原三角形全等．以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．6．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，交OA于点E，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为（　　）cm2．A．40 B．30 C．20 D．10【解答】解：∵BE是OA的垂直平分线，∴OB＝AB＝10cm．∵OP是∠MON的角平分线，点C在OP上，CA⊥ON，∴点C到OM的距离等于CA长为4cm．∴△OBC面积为×10×4＝20cm2．故选：C．7．如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝115°，则∠EAF的大小为（　　）A．45° B．50° C．60° D．65°【解答】解：∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，∵ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝65°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝50°，故选：B．8．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确．∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BPA，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确．在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 　E6395　．10．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　SSS　．11．一个三角形的三边为6、10、x，另一个三角形的三边为y、6、12，如果这两个三角形全等，则x+y＝　22　．12．如图，△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC＝8cm，△AMN的周长是12cm，则△ABC的周长等于　20　cm． 13．如图，△ABC中∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝10，BD＝6，则D到AB的距离为　4　．14．直角三角形斜边上的中线和高分别为6和5，则这个直角三角形的面积为　30　．15．如图，点P是∠ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为　4.5　．【解答】解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE＝EP1，PD＝DP2，∵PE＝2.5，PD＝3，DE＝4，∴P2D＝3，EP1＝2.5，即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5，则线段P1P2的长为：P1D+DP2＝1.5+3＝4.5．故答案为4.5．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝　5　．17．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6﹣2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2+6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．18．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　60°　．【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．三、解答题：（本大题共10小题，共96.0分）．19．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）求证：FH＝GM；（2）若FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求HG的长度．【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，∴FG＝MH，∴FH＝GM；（2）∵△EFG≌△NMH，∴FG＝HM＝3.3cm，∴HG＝FG﹣FH＝3.3cm﹣1.1cm＝2.2cm．20．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证，AC＝DF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E．∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．又AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC＝DF．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．22．如图，△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，∠AEB＝90°，CD＝AE．求证：（1）△BCD≌△BAE；（2）△EBD是等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∵CD⊥AB，∠AEB＝90°，∴∠CDB＝∠AEB＝90°．在Rt△BCD和Rt△BAE中，，∴Rt△BCD≌Rt△BAE（HL）．（2）∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴D为AB中点．∴ED＝AB＝DB．∵△BCD≌△BAE，∴∠EBD＝∠DBC＝60°．∴△EBD是等边三角形．23．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：（1）∵OE平分∠AOB，∴∠COE＝∠DOE，∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE＝∠ODE＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．24．如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）①作线段AB的垂直平分线MN；②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于 　6　．    【解答】解：（1）①如图，直线MN即为所求；②如图，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，故答案为：6．25．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD＝ED；（2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．【解答】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线∴∠DAE＝∠BAE∵DE∥AB∴∠DEA＝∠EAB∴∠DAE＝∠DEA∴AD＝DE（2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线∴AE⊥BC∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90°∴∠C＝∠CED∴DE＝CD且DE＝3∴AD＝DE＝CD＝3∴AC＝626．如图，在长方形ABCD中，AB＞BC，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE求证：（1）△AED≌△CDE（2）△EFD是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形∴AD＝CB，AB＝CD，根据翻折性质可得，△CBA≌△CEA，∴CB＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，CD＝AE，且DE＝DE，∴△ADE≌△CED（SSS）（2）∵△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，∴DF＝EF，∴△EFD是等腰三角形．27．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．（1）若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；（3）探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；（2）PE＝PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．（3）PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．  28．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．