上海市吴淞中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

吴淞中学2023学年第一学期高二年级数学月考                  

2023.10

一、填空题（4'×6＋5'×6）

1．下列事件中，属于随机现象的序号是______．

①明天是阴天；  ②方程有两个不相等的实数根；

③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．

2．已知复数z满足（i为虚数单位），则______．

3．若，，则______．

4．若、、三点不能构成三角形，则______．

5．一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为______．

6．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是______．

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

7．在棱长为2的正方体中，E为的中点，则异面直线BE与AC所成角的大小为______．

8．抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图，则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为______．

9．已知正四棱锥P－ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的正弦值是______．

10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已达局数为X，则______．

11．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具、魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是______．

12．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则△ABC的面积的最大值是______．

二、单选题（4'×2＋5'×2）

13．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（    ）

A．充分非必要条件  B．必要非充分条件

C．充要条件  D．既非充分又非必要条件

14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6：5：4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人．

A．16 B．18 C．20 D．24

15．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（    ）．

A．两人均获得满分的概率为             B．两人至少一人获得满分的概率为

C．两人恰好只有甲获得满分的概率为     D．两人至多一人获得满分的概率为

16．已知平面、所成角为80°，P为两平面外一点，则过点P且与平面、所成角均为40°的直线有（    ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题（14＋14＋16＋16＋18）

17．已知向量，．

（1）求实数x的值，使；

（2）若，求与的夹角的余弦值．

18．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

（1）求该蒙古包的侧面积．

（2）求该蒙古包的体积．

19．如图，在直棱柱中，，，点D、E、F分别是、、BC的中点．

（1）求AE与平面DEF所成角的大小；

（2）求A到平面DEF的距离．

20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，…，，．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；

（3）从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

21．已知函数

（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；

（2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．

参考答案

一、填空题

1.①③;      2.;     3.;     4.0;      5.;     6.;    7.;  8.;       9.;   10.；   11.     12.2

11．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具、魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是______．

【答案】

【解析】如图,转动了后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,
显然小三角形为等腰直角三角形,直角边为,则斜边为,

故,可得,

由几何关系得：阴影部分的面积为
所以,所求面积

12．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则△ABC的面积的最大值是______．

【答案】2

【解析】
由余弦定理

设,

的面积的最大值是2,
故答案为:2.

二、选择题

13.A         14.A         15.A          16.C

15．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（    ）．

A．两人均获得满分的概率为             B．两人至少一人获得满分的概率为

C．两人恰好只有甲获得满分的概率为     D．两人至多一人获得满分的概率为

【答案】A

【解析】分别设甲,乙能得满分的事件为,则相互独立,,两人均获得满分的概率为,故正确,

,两人至少一人获得满分的概率为,故错误,

,两人恰好只有甲获得满分的概率为,故错误,

,两人至多一人获得满分的概率为,故错误.
故选:.

16．已知平面、所成角为80°，P为两平面外一点，则过点P且与平面、所成角均为40°的直线有（    ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】如图,作出两平面所成二面角的平面角,则,

设为的平分线,则
当以为中心,在二面角的角平分面上旋转时,与两平面的夹角变小,

此时与平面所成角均为的直线仅有这一条,
设为的补角的平分线,则,
当以为中心,在二面角的邻补的二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小,此时在的两侧各出现一条与两平面成的直线,分别设为,

过点可作一条与平行的直线,符合题意,可作与平行的直线各一条,符合题意,

过点且与平面所成角均为的直线有3条.
故选:.

三．解答题

17.（1）               （2）

18.（1）    （2）

19.（1）                     (2)

20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，…，，．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；

（3）从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

【答案】（1）       （2）      （3）

【解析】(1)由频率分布直方图得:
解得.

(2)

(3)  受访职工中评分在的有:人,记为,
受访职工中评分在的有:人,记为,
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有的可能结果有10种,

分别为:,,
此2人评分都在包含的基本事件有,,共3个,

从评分在的受访职工中,随机抽取2人,此2人评分都在的概率.

21．已知函数

（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；

（2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；      （2）     （3）

【解析】（1）当时,,所以当,

即时,,所以,此时;
(2)因为为偶函数,所以,所以,
所以

又因为在上恒成立,即在上恒成立,
所以在上恒成立,

所以,且在上恒成立,
因为,所以,所以,
所以,解得,所以的取值范围为;
(3)因为过点,所以,

又因为,所以,所以,
又因为,所以,所以,

因为,所以,

又因为对任意的,都有成立,
所以
设,则有
图象是开口向下、对称轴为的抛物线,当时,在上单调递增,
所以,所以,解得,所以;
当时,在上单调递减,
所以,所以,解得,所以;
当时,所以,解得,

所以,综上所述:,所以实数的取值范围为.