广东省佛山市南海区大沥高级中学2023-2024学年高二上学期阶段检测一数学试题（月考）

这是一份广东省佛山市南海区大沥高级中学2023-2024学年高二上学期阶段检测一数学试题（月考），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
大沥高级中学2023~2024学年度第一学期阶段检测一高二级  数学  试卷2023年10月18日.命题人：黄秋兰    审题人：张伟红一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知两个向量，，且，则的值为（    ）A．1     B．2     C．4     D．82．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为（    ）A．10     B．15     C．20     D．253．作为常态化疫情防控措施，公共场所要求进入的人员必须佩戴口罩，某家庭成员3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ）A．      B．      C．      D．4．已知空间向量，，则（    ）A．      B．      C．5     D．5．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（    ）A．      B．      C．      D．6．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ）A．0.09     B．0.42     C．0.51     D．0.67．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411  231  324  412  112  443  213  144  331  123114  142  111  344  312  334  223  122  113  133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（    ）A．      B．      C．      D．8．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（    ）A．      B．     C．     D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）A．          B．向量与向量共线C．向量关于x轴对称的向量为   D．向量关于yOz平面对称的向量为10．若，，，则下列说法正确的是（    ）A．          B．事件A与B不互斥C．事件A与B相互独立       D．事件与B不一定相互独立11．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，若前两局中乙队以2∶0领先，则（    ）A．甲队获胜的概率为        B．乙队以3∶0获胜的概率为C．队以3∶1获胜的概率为       D．乙队以3∶2获胜的概率为12．如图，已知正方体的棱长为2，E、F、G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（    ）A．三棱锥的体积为B．平面EFGC．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是D．异面直线EG与所成的角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．相关部门对某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布表如下所示：时间10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日频率0.050.080.090.130.300.150.20已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为______万元．14．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，那么______．15．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为______．16．如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10.0分）在空间直角坐标系中，已知点，，．（1）若A，B，C三点共线，求a和b的值；（2）已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值．18．（本小题12.0分）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，．（1）求语文成绩在内的学生人数．（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．（3）若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．19．（本小题12.0分）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求AE的长．20．（本小题12.0分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．（1）求甲通过考核的概率；（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．21．（本小题12.0分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，平面ABCD，，M为PD中点，（1）求；（2）求二面角余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．22．（本小题12.0分）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点．（1）证明：平面BDE；（2）设，，，点P在BD上，若CF与平面ABD所成的角的正弦值为，求此时F点的位置．  大沥高级中学2023~2024学年度第一学期阶段检测一高二级  数学  试卷答案【解析】1．解：∵，∴存在实数k使得，∴，解得，，，则．故选C．2．解：从5人中选出2人担任正、副班长，设这5人编号为1，2，3，4，5，用表示一个样本点，其中表示x正班长，y表示副班长，列举（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），因此样本点个数为20．故答案为C．3．解：从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个，其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．4．解：∵，，∴，∴．故选：D．5．解：根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为，把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是，故第二次才能打开门的概率是．故选：B．6．解：甲乙都不能译出密码的概率为，故密码被破译的概率为．故选：C．7．解：由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个，由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为．故选：B．8．解：由题意可知．故选：C．9．解：A：因为，所以本选项说法正确；B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于x轴对称的点的坐标为，所以向量关于x轴对称的向量为，因此本选项说法正确；D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于yOz平面对称点的坐标为，所以向量关于yOz平面对称的向量为，D错误，故选：ABC．10．解：，∴．∴事件A与B相互独立，不是互斥事件，事件与B一定相互独立．11．解：对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队获胜，第二、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为，故D错误．故选：AB12．解：对于A，，故A正确；对于B、D，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，，则，，，，，即，，又，EF，平面EFG，则平面EFG，故B正确；，，，故D错误；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面，易得正六边形边长为2，则截面面积为：，故C正确．故选ABC．13．解：设游客人数最多的那一天的营业额约为x万元，由，解得．14．解：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则，即，解得，故答案为-8．15．解：因为平面的法向量为，向量，所以，设直线AB与平面所成角为，所以，因为，所以，所以向量在平面内的投影向量的长度为．故答案为．16．解：取AC的中点O，连接OP，OB，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面，AC，平面PAC，∴平面ABC，又∵，∴，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵是等腰直角三角形，，∴，则为边长为的等边三角形，∴，，，，∴，，∴．∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为．故答案为．17．解：（1），，∵A，B，C三点共线，∴，存在，，即，∴解得∴，；（2），，∵A，B，C，D四点共面，∴，，共面，∵，由（1）知A，B，C三点不共线，∴存在，使，即，∴，解得，所以．18．解：（1）由频率分布直方图，知，解得，语文成绩在内的学生人数为．（2）由频率分有直方图，知语文成绩不低于112分的概率为．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c，样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为．19．解：（1）．（2）由（1）得，所以，故．20．解：（1）甲第一次考核通过的概率为，甲第二次考核通过的概率为，所以甲通过考核的概率为．（2）中考核1次、乙考核2次的概率为，乙考核1次、甲考核2次的概率为，所以甲乙两人考核的次数和为3的概率为．21．解：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴；（2）由（1）可知，，，设平面PBD的法向量为，则，即，令，则，，∴，∵平面ABCD，∴平面BCD的一个法向量为，∴，由图可知，二面角为钝角，故二面角余弦值的大小为；（3）由（2）知，平面PBD的法向量为，，故点C到平面PBD的距离为．22．解：（1）因为，E为AC的中点，所以，在和中，，，所以，所以，又E为AC的中点，所以．又 平面BDE，，所以平面BDE．（2）因为，则，，由且，所以是等边三角形，由且，E为AC的中点，所以，在等腰直角中，则，故，又且，以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，设面ABD的一个法向量为，则，取，则，又，，设，，所以，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为，因为，所以，所以，解得，所以F为BD的四等分点且靠近D点位置．