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广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
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这是一份广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题,共11页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
虎门外语学校2023-2024学年度第一学期10月月考高二数学试题考试时间:120分钟,满分150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在给出的四个选项中,只有一项是符合要求.1.已知,,,则,的值分别为( )A. B.5,2 C. D.2.如图在四面体中,M,N分别在棱,上且满足,,点G是线段的中点,用向量,,表示向量应为( )A. B.C. D.3.如图在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱且,则( )A. B. C. D.4.若向量垂直于向量和,向量(,,且),则( )A. B.C.不平行于,也不垂直于 D.以上都有可能5.若直线l的斜率,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.6.如图,在正四面体中,D,E,F分别是,,的中点,下面四个结论不成立的是( )A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面7.已知角的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线垂直,则的值为( )A. B. C.2 D.38.在正方体中,在正方形中有一动点P,满足,则直线与平面所成角中最大角的正切值为( )A.1 B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知:为直线l的方向向量,,分别为平面,的法向量(,不重合),下列说法中正确的有( )A. B.C. D.10.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,底面,且,M、N分别为、的中点.则( )A. B.C.平面 D.与平面所在的角为11.在正方体中,有下列说法,其中正确的有( )A. B.C.与的夹角为 D.正方体的体积为12.如图,正方体中,E为的中点,P为棱上的动点,则下列结论正确的是( )A.存在点P,使平面 B.存在点P,使C.四面体的体积为定值 D.二面角的余弦值取值范围是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在空间直角坐标系中,已知点,,则______14.已知,,,,,若,则的值为______15.在正四面体中,M,N分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为______16.已知等腰直角三角形的直角顶点为,点A的坐标为,则点B的坐标可能为______四、解答题:共6小题,17小题10分,其它小题均为12分,共70分.17.已知点、.(1)求直线的倾斜角;(2)过点的直线m与过、两点的线段有公共点,求直线m斜率的取值范围.18.如图,在平行六面体中,设,,,E,F分别是,的中点.(1)用向量,,表示,;(2)若,求实数x,y,z的值.19.如图,在底面为矩形的四棱锥中,平面平面.(1)证明:;(2)若,设Q为中点,求直线与平面所成角的余弦值.20.如图所示,在四棱锥中,底面,底面是矩形,M是线段的中点.已知,.(1)求二面角的余弦值;(2)直线上是否存在点N,使得与垂直?若存在,求的长;若不存在,请说明理由21.如图,在三棱锥中,,,O为的中点.(1)证明:平面;(2)若点M在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.22.如图,在棱长为2的正方体中,点M是正方体的中心,将四棱锥绕直线逆时针旋转,得到四棱锥.(1)若,求证:平面平面;(2)是否存在,使得直线平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
虎门外语学校2023-2024学年度第一学期10月月考高二数学答案一、单项选择题AABB CDBD二、多项选择题AB CD AB BC三、填空题13. 14. 15. 16.或四、解答题17.(1)由已知得:直线的斜率,又,(2)直线的斜率直线的斜率过点直线m与过A,B两点的线段有公共点,直线m斜率的取值范围为18.(1)(2),,19.(1)依题意,面面,,面,面面,面.又面,.(2)解法一:向量法在中,取中点O,,,面,以O为坐标原点,分别以为x轴,过点O且平行于的直线为y轴,所在的直线为z轴,建立如图空间直角坐标系,设,,,,,,,,,,.设面法向量为,则,解得.设直线与平面所成角为,则因为,.所以直线与平面所成角的余弦值为.(2)解法二;几何法过P作交于点O,则O为中点,过A作的平行线,过P作的平行线,交点为E,连结,过A作交于点H,连结,连结,取中点M,连结,,四边形为矩形,所以面,所以,又,所以面,所以为线与面所成的角.令,则,,,由同一个三角形面积相等可得,为直角三角形,由勾股定理可得,所以,又因为为锐角,所以,所以直线与平面所成角的余弦值为.20.(1)因为底面,底面,CD⊂底面,所以,.因为底面是矩形,所以.如图,以D为原点,,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系则,,,,.因为M是线段的中点,故,,.设平面的法向量为,则,即令,则,,于是.因为底面,所以为平面的法向量.又,所以.由题知二面角是锐角,所以其余弦值为.(2)因为N为直线上一点,,其中,.又,且与垂直,解得.所以存在点,使得与垂直,此时,,的长为.21.(1)证明:连接,,O是的中点,,且,又,,,则,则,,平面;(2)建立以O坐标原点,,,分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:,,,,,设,则,则平面的法向量为,设平面的法向量为,则,则,令,则,,即,二面角为,,即,解得或(含),则平面的法向量,与平面所成角的正弦值.22.(1)证明:若,则平面、平面为同一个平面,连接,,则M是中点,是中点,故是的中位线,所以,.因为,,所以平面四边形是平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.同理平面,且平面,平面,,所以,平面平面.(2)假设存在,使得直线平面.以C为原点,分别以,,为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,故,.设是平面的法向量,则,所以,取,得是平面的一个法向量,取中点P,中点Q,连接,,则,,.于是是二面角的平面角,是二面角的平面角,是二面角的平面角,于是,,所以,且平面,,故,同理,所以,因为,,所以.若直线平面,是平面的一个法向量,则.即存在,使得,则此方程组无解,所以,不存在,使得直线平面.
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