广东省广州市南海中学2023-—2024学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份广东省广州市南海中学2023-—2024学年九年级上学期10月期中数学试题，共12页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市荔湾区广东省广州市南海中学2023-2024学年九年级上学期期中（数学）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.下列关于矩形的说法，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分 2.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中80次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　） A．40个 B．32个 C．48个 D．24个 3.用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　）A． B．C． = D． 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．无法确定 5.平面直角坐标系中，点A（1，a）和点B（﹣1，b）关于原点对称，则a+b的值分别是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 6.已知一矩形的两邻边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 7.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 8.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（　　） A．10° B．12.5° C．15° D．20° 9.矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（　　）个①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P． A．2 B．3 C．4 D．5 10.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上． 11.如图，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是　   　．12.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是　   　． 13.如图所示，甲乙两建筑物在太阳光的照射下的影子的端点重合在C处，若BC=20m，CD=40m，乙的楼高BE=15m，则甲的楼高AD=　   　m． 14.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为　   　． 15.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=AA′，S△ABC=4，S△A′B′C′=　   　． 三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分) 16.（1）解方程：x2﹣6x﹣4=0． （2）（x﹣3）2=2x﹣6． 四、解答题（本大题4小题，共33分） 17.作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：菱形ABCD边长为a，有一个内角等于∠α，求作此菱形ABCD．结论： 18.在郑州外国语中学的文化建设进程中，“打造书香校园”一直是其最重要的内容之一．我校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了　   　名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）小红与小明每人从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率是多少？ 19.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，若AC=16，BD=12，则OF=　   　． 20.如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E为AC上一点，D为BC延长线上一点，且CE=CD，连接AD，BE，并延长BE交AD于F．（1）求证：BF⊥AD．（2）若点N与C关于直线AD对称，连接CN，连接AN．①如图2，作∠ACB的角平分线CM交BE于点M，连接AM．判断∠DAN与∠DAM的数量关系，并证明你的结论．②如图3，若AF=1，CN=4，求AB的长．                  答案1.【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选：D． 2.【解答】解：由题意可得：8÷﹣8=32（个）答：白球的个数大约有32个；故选：B． 3.【解答】解：∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=﹣c，∴x2+x=﹣，∴x2+x+=﹣+，∴．故选：C． 4.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴∠A=30°．故选C． 5.【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a＝﹣b，进而得出答案．【解答】解：∵点A（1，a）和点B（﹣1，b）关于原点对称，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故选：C． 6.【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．故选：B． 7.【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C． 8.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，又∵△ADE是正三角形，∴AE=AD，∠DAE=60°，∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°．故选：C． 9.【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°，∴∠M=∠CB'E=∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'=AB，AP=AP，∠B'AP=∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB=PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D==3，从而可得CB'=5﹣3=2，设AE=x，则EB'=EB=，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2=EB'2，即（4﹣）2+4=x2﹣25，解得：x=，即AE=．故可得③正确；④假如MB′=CD，则可得MB'=AB=AB'，∴∠M=∠BAB'，由①得∠M=∠DAB′，故有∠BAB'=∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'=∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，∴EB'=B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C． 10.【解答】解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选：C． 11.【解答】解：观察这个图可知：转盘停止转动时指针指向阴影部分的面积与非阴影部分面积相等，各占，故其概率等于．故答案为． 12.【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1． 13.【解答】解：根据题意得AD∥BE，∴△CBE∽△CDA，∴=，即=，∴DA=30（m）．故答案为30． 14.【解答】解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴旋转后OA与y轴夹角为45°，∵OA＝2，∴OA′＝2，∴点A′的横坐标为2×＝，纵坐标为﹣2×＝﹣，所以，点A′的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）． 15.【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又∵S△ABC=4，∴S△A'B'C'=4×=9．故答案是：9． 16.（1）x2﹣6x﹣4=0移项得，x2﹣6x=4，配方得，x2﹣6x+9=4+9，（x﹣3）2=13，开方得，x﹣3=±，x1=3+，x2=3﹣． （2）∵（x﹣3）2=2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0，则（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5． 17.【解答】解：如图菱形ABCD即为所求． 18.【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%=200人，故答案为：200； （2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%=30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30=70人，如图所示： （3）记社科类图书为A、文史类图书为B、生活类图书为C、小说类图书为D，画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能情况，其中二人恰好选择文史类的只有1种结果，所以二人恰好选择文史类的概率为． 19.【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED为矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=AC=8，OB=BD=6，由勾股定理得：BC==10，∵△BOC的面积=BC•OF=OB•OC，∴OF==4.8．故答案为：4.8．  20.【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE=∠CAD，又∵Rt△ACD中，∠CAD+∠D=90°，∴∠CBE+∠D=90°，∴∠BFD=90°，即BF⊥AD； （2）①∠DAN=∠DAM．证明：∵CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM，在△ACM和△BCM中，，∴△ACM≌△BCM（SAS），∴∠CBE=∠CAM，由（1）可得，∠CBE=∠CAD，∴∠CAM=∠CAD，∵点N与C关于直线AD对称，∴AD垂直平分CN，∴AC=AN，∴∠CAD=∠DAN，∴∠DAN=∠ACD=∠CAM，即∠DAN=∠DAM；②如图，连接FN，过C作CH⊥CF，交BE于H，∵AC⊥BD，∴∠BCH+∠ACH=∠ACF+∠ACH=90°，∴∠BCH=∠ACF，由（1）可得，∠CBH=∠CAF，又∵BC=AC，∴△BCH≌△ACF，∴BH=AF=1，CH=CF，∴△FCH是等腰直角三角形，∴∠HFC=45°，∵BF⊥AD，CN⊥AD，∴BF∥CN，∴∠FCN=∠BFC=45°，又∵AD垂直平分CN，∴FC=FN，∴∠FNC=∠FCN=45°，∴△NCF是等腰直角三角形，∴Rt△NCF≌Rt△HFC，∴HF=NC=4，∴BF=1+4=5，∴Rt△ABF中，AB===．