初中第三章 二次函数2 二次函数学案

课题

4　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

课时

第4课时

上课时间

教学目标

1.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,会利用图象研究和理解二次函数y=ax2+bx+c的性质,用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式.

2.通过自主探究,认识二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质,会用配方法把它化成y=a(x-h)2+k的形式.经过合作交流,能比较y=ax2+bx+c与y=ax2的联系,提高学生的观察分析能力.

3.通过二次函数y=ax2+bx+c的探究活动,初步建立学生的二次函数不同表达式之间的转换思维,培养学生的团队合作精神,勇于探索的学习习惯,提高学生的学习兴趣.

教学

重难点

重点:二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.

难点:二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=ax2的联系.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

填写下表:

探索新知

合作探究

自学指导

　二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状呢?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系吗?

我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数3(x-1)2+2的图象.

你能把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?

可以通过配方法得到.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式

一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.

合作探究

1. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.

讨论:如果每次都采取“配方”,岂不是很麻烦?有更好的办法吗?

求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.顶点坐标公式y=ax+2+c.

2.交流讨论

(1)请总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质.

(2)函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么?

探索新知

合作探究

3.小组合作

课本84~85页,二次函数y=ax2+bx+c的探究过程与例题.

4.组织学生探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,以及配方法的使用.

思考:二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2有什么异同点和联系呢?

教师指导

1.易错点:

(1)注意二次函数y=ax2+bx+c的开口方向,判断题中易错.

(2)二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为-,,注意-的“-”号.

2.归纳小结:

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

①抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是-,,对称轴是平行于y轴的直线x=-.

②当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,并且向下无限伸展.

③当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;当x=-时函数y的值最小是.

当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小;当x=-时,函数y的值最大是.

(2)y=ax2+bx+c(y=a(x-h)2+k(a≠0))的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移-个单位当->0时,向右平移;当-<0时,向左平移,再沿对称轴整体上(下)平移个单位

当>0时向上平移;当<0时,向下平移得到的.

3.方法规律:

(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的开口方向是由a的符号决定的,a<0开口向下,a>0开口向上.

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象可由y=ax2的图象平移得到,先沿x轴平移,方向(向左向右)由-的符号决定.->0,向右平移-个单位;-<0,向左平移-个单位.再沿对称轴平移,方向(向上或向下)由的符号决定.>0时,向上平移;<0时,向下平移.

当堂训练

1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①a,b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=4时,x的取值只能为0.其中正确的个数为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标.

(1)y=2x2-12x+13;(2)y=-5x2+80x-319;(3)y=3(2x+1)(2-x).

3.如图,某桥梁相邻两条钢缆的形状是两段相同的抛物线,两条钢缆的公共端点到桥面的距离为10 m,按照图中的直角坐标系,左边的一段的抛物线可以用y=x2+x+10(-40≤x≤0)表示.

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?

(2)两条钢缆最低点之间的距离是什么?

板书设计

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

1.二次函数y=ax2+bx+c的配方及其图象和性质

2.二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=ax2的联系

3.二次函数y=ax2+bx+c的运用

教学反思

掌握求二次函数的表达式的方法——待定系数法;能根据不同的条件,恰当地选用二次函数表达式的形式,尽量使解题简捷;解题时,应根据题目特点,灵活选用,必要时数形结合以便于理解.