2023-2024学年广东省深圳市坪山实验中学、坪山中学九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市坪山实验中学、坪山中学九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省深圳市坪山实验中学、坪山中学九年级（上）联考数学试卷（10月份）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，3.随机掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是(    )A.  B.  C.  D. 4.关于平行四边形的叙述，正确的是(    )A. 若，则平行四边形是菱形
B. 若，则平行四边形是正方形
C. 若，则平行四边形是矩形
D. 若，则平行四边形是正方形5.某校办厂生产的某种产品，今年产量为件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到件，若设这个百分数为，则可列方程为(    )A.
B.
C.
D. 6.菱形的对角线长分别为和，它的面积为(    )A.  B.  C.  D. 7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )A. 且 B. 且 C. 且 D. 8.如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为(    )A. 或
B. 或
C. 或或
D. 或或10.如图，在正方形中，点为延长线上任一点，连接过点作，交的延长线于点，过点作于点下列结论：
；
；
；
若，则．
其中正确的个数为(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数最有可能是______ ．12.已知是方程的一个实数根，则的值为______ ．13.如图，在中，，点是的中点，且，则 ______ ．
 14.如图，菱形的边长为，，为的中点，点在上若是上动点，则的最小值为______ ．
 15.如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到、的距离分别记为，若，则的长为______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）16.解方程：．四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
【例】解方程．
解：设，
则原方程可化为．
解得，．
当时，即，解得；
当时，即，解得．
所以原方程的解为，．
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：．18.本小题分
我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．19.本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点过点作，过点作交于点．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
20.本小题分
超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施经过一段时间后，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，则平均每天销售数量为______ 件；
为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为元，每件商品应降价多少元？21.本小题分
在中，，，，点为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于点，连接，将等边绕点旋转．
如图，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
如图，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接若，，共线，求线段的长；
如图，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点当时，若，，求线段的长．22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足，现同时将点、分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，连接、、．

写出点，的坐标并求出四边形的面积；
在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点是直线上一个动点，连接、，请直接写出，，之间的数量关系．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是分式方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、是一元一次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．2.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
故选：．
根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用合适方法解一元二次方程．3.【答案】 【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，
则，
故选：．
抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有个，求出正面朝上的概率即可．
此题考查了概率公式，概率发生的情况数所有等可能情况数．4.【答案】 【解析】解：错误．若，则平行四边形是矩形；
B.错误．若，则平行四边形是菱形；
C.正确．
D.错误．若，则平行四边形是菱形；
故选C．
根据菱形、矩形、正方形的判定方法即可判断；
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】 【解析】解：已设这个百分数为．
．
故选：．
根据题意：第一年的产量第二年的产量第三年的产量且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数．
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．6.【答案】 【解析】解：菱形的面积为：；
故选：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】
解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，

，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为．9.【答案】 【解析】解：如图，是的中线，，
，
，，
，
“智慧三角形”是直角三角形．
如图，为“智慧三角形”，且，
四边形是矩形，，，点，
，，，
，
∽，
，
，
；
如图、图，为“智慧三角形”，且，
，
，
∽，
，
，，
，
，
解得或，
或；
点在边上，点在边上，
，
，
不能是以为直角的“智慧三角形”，
综上所述，点的坐标为或或，
故选：．
先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，可证明∽，则，可求得，则；二是为“智慧三角形”，且，可证明∽，则，于是得，可求得或，则或；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明∽及∽是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：如图，在上取一点，使，连接、，

，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；故正确；
连接，
由知：，，

，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；故错误；
连接交于，如图：

四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
，即，故错误；
设，，则，
，，
，，
，
若，则，
，
即，故正确，
故选：．
在上取一点，使，连接、，证明≌，可得，，有，进而可得四边形是平行四边形，，可判断正确；连接，证明四边形是平行四边形，得，，可得；判定错误；连接交于，可证明≌得，从而判断错误；设，，则，可得，，若，则，即可得，判断正确．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是适当作辅助线，构造全等三角形解决问题．11.【答案】 【解析】解：设袋子中红球有个，
根据题意得，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是个．
故答案为．
设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率．12.【答案】 【解析】解：是方程的一个实数根，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：点是的中点，，
，
，
，
故答案为：．
利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．14.【答案】 【解析】解：菱形的边长为，，
，，
是等边三角形，
点关于的对称点为点，连接交于点，为的中点，
，，
．
故答案为：．
首先根据菱形的性质得出是等边三角形以及连接后与的交点即为点，进而利用锐角三角函数关系得出的长即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数的应用等知识，熟练利用菱形性质是解题关键．15.【答案】或 【解析】解：如右图，当点在矩形内，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，
，
，
，，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
如图，当点在矩形外，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据题意分两种情况画图：如图，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，如图，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题．
本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．16.【答案】解：

，
，． 【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．
利用因式分解法解出方程．17.【答案】解：，
解：设，
则原方程可化为，
．
解得，．
当时，即，解得；
当时，即，解得．
所以原方程的解为：，． 【解析】设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出．
本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键．18.【答案】   【解析】解：本次被调查的学生人数为名．
故答案为：．
选择“足球”的人数为名．
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积． 【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．20.【答案】 【解析】解：由题意得，若降价元，则平均每天销售数量为件，
故答案为：；
设每件商品应降价元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
要尽快减少库存，
，
每件商品应降价元．
根据在每天销售件的基础上销售单价每降低元，平均每天可多售出件进行求解即可；
设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．21.【答案】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
如图，

作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，，
，
；
如图，

将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
． 【解析】可得出，，，解直角三角形求得结果；
可得出，，，解直角三角形求得，解斜三角形求得；
将绕点顺时针旋转至，连接，可得出，，，，从而得出是等边三角形，于是可求得，，从而得出，从而求得，进一步得出结果．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．22.【答案】解：点，的坐标分别是一，，，
现同时将点、分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，的对应点，，
点的坐标为，点的坐标为，
四边形的面积；
存在，
设点的坐标为，
的面积是面积的倍，
，
解得或，
点的坐标为和；
当点在线段上，作，如图，

，
，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上，作，如图，

，
，
，
，
，
；
同样得到当点在线段的延长线上，得到． 【解析】根据点平移的规律易得点和点的坐标，进而求出面积；
设点的坐标为，根据的面积是面积的倍和三角形面积公式求得，然后写出点的坐标；
分类讨论：当点在线段上，作，根据平行线的性质由得，由得到，则，所以；同样得到当点在线段的延长线上，；当点在线段的延长线上，得到．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系和平行线的性质综合问题，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想．