2023-2024学年河南省周口市淮阳中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析)

2023-2024学年河南省周口市淮阳中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.要使二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若关于的方程是一元二次方程，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列各式，，，中，是最简二次根式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.方程的根是(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.若，则“？”表示的数字是(    )

A.  B.  C.  D.

6.关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根为(    )

A.  B.  C.  D.

7.一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

8.用配方法解方程，将其化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为，道路的宽为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，平行四边形中，对角线为，且，以点为圆心，以适当长度为半径做弧，交、于点、两点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交、于，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算： ______ ．

12.已知，为实数，且，则 ______ ．

13.观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．

14.某农村合作社年苹果储存量为吨，预计年苹果储存量达到吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为______ ．

15.定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：．
计算：．

17.本小题分
若为正数，则为正整数，求的最大值及此时的值．

18.本小题分
座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期单位：，表示摆长单位：假如一台座钟的摆长为取，
求摆针摆动的周期．
如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？

19.本小题分
关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
若为正整数，求此时方程的根．

20.本小题分
开封西瓜是河南省开封市特产，是开封市的地理标志农产品某水果摊位上销售一批开封西瓜，平均每天可售出箱，每箱盈利元为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施，假设在一定范围内，每箱开封西瓜的价格每降低元摊主平均每天可多售出箱如果该摊主销售这批西瓜要保证每天盈利元，同时尽快减少库存，那么每箱西瓜应降多少元？

21.本小题分
下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务．

任务：
小论文中的根据是______ ．
用平均数法解方程的两个解分别是 ______ ， ______ ．
请用平均数法解方程：．

22.本小题分
综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．

23.本小题分

综合与探究
如图，在矩形中，，，动点，分别从点，处同时出发，点以的速度从点移动到点，点以的速度从点向点移动，点随点的停止而停止移动，设移动时间为．
当为何值时，四边形的面积是？
当为何值时，的长为？
当为直角三角形时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
，且，，
，
故选：．
根据二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，不是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式．
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式，书记最简二次根式的定义是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
或，
解得或，
故选：．
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
将化简，之后计算即可．
本题主要考查二次的加减运算，将化简是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：解法一：由题意设一元二次方程的两根分别为，，
，
，
方程的另一个根为．
故选：．
解法二：一元二次方程的一个根是，
，
，
，
解得：，，
方程的另一个根为．
故选：．
解法一：利用根与系数的关系得到，算出即可．
解法二：将代入方程中求得的值，再解一元二次方程即可．
本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程中的，，，
则这个方程根的判别式为，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
．
，．
．
故选：．
先配方，确定、，再计算的值得结论．
本题考查了一元二次方程，掌握配方法是解决本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：设道路的宽为，则剩余的六块空地可合成长、宽的矩形，
根据题意得：．
故选：．
设道路的宽为，则剩余的六块空地可合成长、宽的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得，
平分交，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
作交于，
，
，
，
，
，
，
故选：．
可得平分，作，可得是等腰直角三角形，是等腰三角形，进而求得结果．
本题考查了角平分线的画法和判定，等腰直角三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造是等腰直角三角形．

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
解得：，
则，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出，进而求出，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：由时，，时，，
由函数的增减性，得的解满足，
故答案为：．
观察表格确定出方程的一个解的范围即可．
本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：设这两年苹果储存量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两年苹果储存量的年平均增长率为．
故答案为：．
设这两年苹果储存量的年平均增长率为，利用该农村合作社预计年苹果储存量该农村合作社年苹果储存量这两年苹果储存量的年平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】或或 

【解析】解：，
，
时，，解得；
时，，解得或舍；
时，，解得或舍；
时，方程无解；
综上所述：方程的解为或或，
故答案为：或或．
根据，可得，分种情况讨论：时，解得；时，解得或 舍；时，解得或舍；时，方程无解．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
原式

． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
先化简二次根式，再利用乘法分配律计算即可．
本题主要考查二次根式的运算和解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．

17.【答案】解：为正数，
，
，
为正整数，
，
，
的最大值为，此时，即． 

【解析】根据为正数得出，再判断出，故估算的值，从而得出的最大值为，由此解答即可．
本题考查了二次根式的定义，无理数的估算，不等式的性质，难度适中．

18.【答案】解：


．
答：摆针摆动的周期
分秒，
次．
答：在分钟内，该座钟大约发出次滴答声． 

【解析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期；
然后利用时间除周期得到滴答次数．
本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．

19.【答案】解：，
依题意，得
解得且；
为正整数，
，
原方程为．
解得，． 

【解析】由方程有两个相等的实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
由知，得出方程，再用因式分解法求解可得．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．

20.【答案】解：设每箱西瓜降价元，则每箱盈利元，平均每天可售出箱，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存，
．
答：每箱西瓜应降元． 

【解析】设每箱西瓜降价元，则每箱盈利元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21.【答案】平方差公式     

【解析】解：，
根据，
根据是平方差公式．
故答案为：平方差公式．
原方程变形为：，
，
，
，
，．
故答案为：，．
，
原方程可变形，得，
整理得：，
，即，
直接开平方并整理，得，．
根据阅读材料中的信息确定根据就是平方差公式；
利用“平均数法”解方程即可；
利用“平均数法”解方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．

22.【答案】解：任务：设剪掉的小正方形的边长为，则无盖长方体盒子的底面边长为，
根据题意可列方程得：，
解得：，，
，即，
，
答：剪掉的小正方形的边长为；
任务：设剪掉的正方形的边长为，由题意得：
，
，
解得：，
答：剪掉的小正方形的边长为；
任务：如图，过，分别作于，于，于点，
则即为矩形纸板的长，即为矩形纸板的宽，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形纸板的长至少为，矩形纸板的宽至少为． 

【解析】任务：首先设剪掉的小正方形的边长为，则无盖长方体盒子的底面边长为，然后根据底面积为列出方程，解出的值即可；
任务：首先设剪掉的正方形的边长为，则折成的长方体纸盒的长为，高为，根据题意列出方程求解即可；
任务：过，分别作于，于，于点，则即为矩形纸板的长，即为矩形纸板的宽，然后利用含度角的直角三角形的性质解决问题即可．
本题是几何变换综合题，考查了解直角三角形的应用，长方体的平面图，一元二次方程的应用，含度角的直角三角形性质，正确的画出图形是解题的关键．

23.【答案】解：设、两点从出发开始秒时，四边形的面积是，则，，；
由梯形的面积公式，可得：，
解得：，
答：、两点从出发开始秒时，四边形的面积是．
设秒后，点和点的距离是．
，即，
，
，；
经过或时、两点之间的距离是．
分两种情况：
若，则四边形为矩形，

，
，
；
若，

，
，
，
，
∽，
，
，
．
综上所述，的值为，或． 

【解析】由梯形的面积公式可列出方程，解方程可得出答案；
设秒后，点和点的距离是在中，根据勾股定理列出关于的方程，通过解方程即可求得的值；
分两种情况，若，若，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积的计算，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．