2023-2024学年江苏省南京市江宁区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市江宁区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为(    )

A.  B.
C.  D.

2.下列方程中，满足两根和等于的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.武汉市年国内生产总值比年增长了，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比年增长，若这两年年平均增长率为，则满足的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是(    )

A. 是的外心
B. 是的外心
C. 是的外心
D. 是的外心

5.如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.方程的根是______．

8.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．

9.若方程为常数的根是，，则方程的根是______．

10.若，是一元二次方程的两个根，那么的值是______．

11.中的弦长等于半径长，则弦所对的圆周角是______ ．

12.如图，是的直径，弦于点，若，，则直径的长为______．

13.在中，，，，以点为圆心，为半径作，若边与只有一个公共点，则半径的取值范围为______ ．

14.设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是______ ．

15.如图，在四边形中，设，则 ______ 用含的代数式表示．

16.如图，在矩形中，，，是上的一动点不与点、重合连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.如图，四边形中的三个顶点在上，点是优弧上的一个动点不与点、重合．
当圆心在内部，时，______；
当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数；
当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系．

 

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
解方程：
用配方法；
；
．

19.本小题分

如图，点、、、在上，与、分别相交于点、，如果，那么与相等吗？请说明理由．

20.本小题分
如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
若，则弧的度数为______．
若，，求的长．

21.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
若该方程的两个根互为倒数，求的值．

22.本小题分
阅读题例，解答下题：
例：解方程．
解：当，即时，，，
解得：不合题设，舍去，；
当，即时，，；
解得：不合题设，舍去，；
综上所述，原方程的解是或．
依照上例解法，解方程．

23.本小题分
如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
．

24.本小题分
某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元．
填表不需化简

若该青年旅社希望每天纯收入为元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？纯收入总收入维护费用

25.本小题分

如图，点、分别在的两边上．
尺规作图：求作，使它与、、都相切不写作法，保留作图痕迹；
若，，，则的半径为______ ．

26.本小题分
如图，在中，，以为直径作，与边交于点，过点作，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一定是一元二次方程的是，
故选：．
中应标明，中去括号合并同类项后没有了，是分式方程，是一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．

2.【答案】 

【解析】解：满足两个实数根的和等于的方程是，
故选：．
利用根与系数的关系判断即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：若设年的国内生产总值为，
则根据实际增长率和平均增长率分别得到年和今年的国内生产总值分别为：
年国内生产总值：或，
所以，
今年的国内生产总值：或，
所以．
故选D．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即满足的关系式．
本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．

4.【答案】 

【解析】解：连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
，
，即不是的外心，
，即是的外心，
，即是的外心，
，即不是的外心，
故选：．
根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．

5.【答案】 

【解析】解：连接．

，
，
，
，
，
故选：．
连接首先证明，再利用圆内接四边形的性质求出即可解决问题．
本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．轴于，交于，作于，连结，由于，，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理可计算出，则，所以．
【解答】
解：作轴于，交于，作于，连结，如图，
的圆心坐标是，
，，
把代入得，
点坐标为，
，
为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
．
故选B．

7.【答案】， 

【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解答此题可先移项，然后提取公因式即可将方程分解为，然后可得两个关于的一元一次方程即可．
【解答】
解：，
，
，
或，
，．
故答案为，．

8.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．

9.【答案】， 

【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．
关于的一元二次方程的解为，，从而得到或，然后解两个一次方程即可．
【解答】
解：为常数的根是，，
方程的解为或，
所以，，
故答案为：，．

10.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于是解题的关键．

11.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了一条弦所对的圆周角有两种情形：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上．首先根据题意画出图形，再根据“中的弦长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】
解：如图，
为的弦，且，
为等边三角形，
，
，
．
、都是弦所对的圆周角．
所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是或．
故答案为或．

12.【答案】 

【解析】解：连接，设的半径是，则，

，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径是，
直径的长是，
故答案为：．
连接，设的半径是，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出关于的方程，再求出方程的解即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．

13.【答案】或 

【解析】解：如图，作于．
在中，，，，
，
，
，
与边只有一个公共点，
的取值范围为或，
故答案为：或．
如图，作于利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

14.【答案】相切或相交 

【解析】解：，，
，
点在直线上，，
点到直线的距离，
直线与相切或相交，
故答案为：相切或相交．
由条件可知点在上，则可知直线与相切，可求得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点在圆上是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
四边形内角和为，
，
，
即，
，，
，
，
．
故答案为：．

根据已知条件，可得，，根据三角形内角和定理可得，，根据四边形内角和为，可得，根据已知条件可得，即可得出答案．

本题主要考查了等腰三角形的性质及多边形内角和定理，熟练应用相关性质及定理进行求解是解决本题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决问题，属于中考常考题型．首先证明点的运动轨迹是以为直径的，连接，利用三角形的三边关系即可得出结论；
【解答】解：如图，

，
，
点的运动轨迹是以为直径的，连接，．
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
的最小值为，
故答案为．

17.【答案】解：；
四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
；
当比小时，
如图，

，，
，，
，
由得，
；
当比大时，
同理可得，
综上所述，． 

【解析】【分析】
连接，如图，根据等腰三角形的性质得，，则，然后根据圆周角定理易得；
根据平行四边形的性质得，再根据圆周角定理得，则，然后根据圆内接四边形的性质由，易计算出的度数；
讨论：当比小时，如图，与一样，，则，由得，
所以；当比大时，用样方法得到．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质和平行四边形的性质．
【解答】
解：连接，如图，

，，
，，
，即，
；
故答案为：；
见答案；
见答案．

18.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，；
，
，
，
或，
解得：，；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法解出方程；
利用提公因式法解出方程；
利用平方差公式把原方程变形，进而解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

19.【答案】解：与相等．
，
．
在和中，
，
≌．
，
． 

【解析】先根据得出，再由定理得出≌，故可得出，由此可得出结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．

20.【答案】解：．
如图，作于．

在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】【分析】
连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出即可．
作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：连接．

，，
，
，
，
，
弧的度数为，
故答案为．
见答案．

21.【答案】证明：
方法一：整理原方程，得，
，
无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
方法二：解方程．
，
，，
，
无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
解：该方程的两个根互为倒数，
，
即，
解得，． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；
利用根与系数的关系列式求得的值即可．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．

22.【答案】解：当，即时，
则，
，
解得，；
当，即时，
，
，
解得舍去，舍去．
综上所述，原方程的解是或． 

【解析】根据题目中的方法解方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解，绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
连接，

，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可；
求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了圆周角定理及其推论，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

24.【答案】；；；  
依题意得：，
整理，得
，
解得，．
当时，有游客居住的客房数量是：间．
当时，有游客居住的客房数量是：间．
所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为元．
答：每间客房的定价应为元． 

【解析】解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是．
故答案为：；；；
见答案．
住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式；
用每天的房间纯收入每间房实际定价入住量总维护费用，每间房实际定价，列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25.【答案】或 

【解析】解：如图，如图，为所作；

当点在外时，
过点作于点，于点，于点，如图，设的半径为，
，，，
，
与、、都相切，
，，，
，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
解得；
当点在内时，的半径，
综上所述，的半径为或．
故答案为：或．
作和的平分线，它们相交于点，再过点作于点，则以点为圆心，为半径作圆得到，如图；作和的平分线，它们相交于点，再过点作于点，则以点为圆心，为半径作圆得到，如图；
点在外时，过点作于点，于点，于点，如图，设的半径为，先利用勾股定理计算出，再根据切线的性质得到，，，接着证明四边形为正方形得到，所以，，则，然后解方程即可；当点在内时，利用直角三角形内切圆公式得到的半径．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．

26.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，证明，则，由切线的判定定理即可证明是的切线；
连接，由是的直径得，根据勾股定理求出的长，再由等腰三角形的性质得，再用面积法列方程求出的长．
此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、用面积法求值等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．