四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三文科数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）

高2021级     数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.

【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，

所以.

故选：A.

2. 已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

3. 抛物线的准线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.

【详解】因为，所以，所以准线方程为.

故选：A.

4. 已知函数，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.

【详解】由题意可得：.

故选：C．

5. 已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 11 D. 无最小值

【答案】A

【解析】

【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出的最小值.

【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.

故选:A.

6. 下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.

【详解】显然函数、都是奇函数，AC不是；

当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；

函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.

故选：D

7. 定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（    ）

A.  B.  C. 0 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.

【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，

又函数是偶函数，则，变形可得，

则有，进而可得，

所以函数是周期为4的周期函数，

则.

故选：C.

8. 用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（    ）

A.  B. 128 C.  D. 96

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.

【详解】设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，

由题意可得，

故圆锥的高为，

故圆锥的体积为，

故选：C

9. 下列说法正确的有（    ）

①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；

②我校高一、高二、高三共有学生人，其中高三有人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，那么应从高三年级抽取人；

③若数据、、、的方差为，则另一组数据、、、的方差为；

④把六进制数转换成十进制数为：.

A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ①③

【答案】A

【解析】

【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；利用进位制之间的转化可判断④.

【详解】对于①，对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大，①对；

对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为，②错；

对于③，记，则，

所以，数据、、、的平均数为

，

其方差为

，③错；

对于④，把六进制数转换成十进制数为：，④对.

故选：A.

10. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数图象可求出的解析式为，再根据平移规则可得.

【详解】由图象可知，，解得；

由振幅可知；

将代入可得，又，即可得，

因此，

易知，

故选：C.

11. 人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ）

A. 1倍 B. 10倍 C. 100倍 D. 1000倍

【答案】C

【解析】

【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.

【详解】∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，

又∵老师的声音的等级约为63dB，

，解得，即老师的声音强度约为，

∵两人交谈时的声音等级大约为，

，解得，即两人交谈时的声音强度约为，

老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.

故选：C

12. 函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将在上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，得到在上的图象，根据的图象与有四个不同的交点，得到的取值范围.

【详解】先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，

同理得到上的图象，如图：

函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，

由图可知，故.

故选：A．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知等差数列的前n项和为，若，则______．

【答案】35

【解析】

【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.

【详解】解：等差数列的前n项和为，，

，

故答案为：35.

14 已知，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出，然后根据二倍角公式即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，，

则，

故答案为：.

15. 如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.

【详解】

设双曲线的标准方程为，

设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，

则，

因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，

故点，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，

所以该双曲线的渐近线方程为．

故答案为：

16. 设函数，有下列结论：

①的图象关于点中心对称；   

②的图象关于直线对称；

③在上单调递减；   

④在上最小值为，

其中所有正确的结论是______．

【答案】②③

【解析】

【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．

【详解】

，

当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；

当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；

由，得，

当即时，函数单调递减，

则当时，函数单调递减，故③正确；

当时，，可知函数在上单调递增，

∴的最小值为，故④错误．

故答案为：②③．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

，附表：

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

【答案】（1）   

（2）列联表见解析，有把握.

【解析】

【分析】（1）分析可知，35周岁以上组工人有(人)，记为；35周岁以下组工人有(人)，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合独立性检验的基本思想可得出结论.

【小问1详解】

解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，

35周岁以上组工人有(人)，记为；

35周岁以下组工人有(人)，记为，

从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:

，，，，

至少有一名“35周岁以下组”工人可能结果共有7种：

，，，，，，，

故所求的概率:.

【小问2详解】

解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，

“35周岁以上组”中的生产能手(人)，

“35周岁以下组”中的生产能手(人)，

据此可得列联表如下:

所以得:，

所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

18. 已知向量，函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简，再利用正弦函数单调性求解作答.

（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.

【小问1详解】

依题意，，

由得：，

所以函数单调递增区间是.

【小问2详解】

由（1）知，，即，而，

则，于是，解得，

由余弦定理有，即，

解得，

所以的周长为.

19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．

（1）若为线段上动点，证明：；

（2）求点与平面的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）因为线段上动点，明显要证明平面，利用线面垂直判定定理，分别证明，即可；

（2）利用等体积变换求距离即得.

【小问1详解】

连接，．

∵为等边三角形，，，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，

又，平面，平面，，

平面

又平面，

【小问2详解】

由（1）知平面

平面，∴．

由题意，

∴，，

∴中，，

∴中，，

∴中，由余弦定理得，

设点到平面的距离为，

则即，

，

得，

故点与平面的距离为

20. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再将代入椭圆方程，即可求出，进而得出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为，由点到之间距离公式及勾股定理得出，设，，由直线方程与椭圆方程联立，得出和，代入，设，，由的单调性得出值域，即可求出的范围．

【小问1详解】

因为的周长为8，

所以，解得，

将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，

所以椭圆E的方程为．

    小问2详解】

由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，

则圆心到直线l的距离，

由，可得．

设，，联立方程组，

消去x得，

则，，

所以，

设，则，

设，

易知在上单调递增，则在上单调递增，

因为，

所以．

21. 已知函数，．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，得到，利用导函数几何意义求出切线方程；

（2）求定义域，求导，分，两种情况，结合函数单调性，得到要满足函数有2个零点，只需，构造函数，，求导，得到其单调性，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

当时，，

，，，

所以函数在点处的切线方程为，即；

【小问2详解】

函数的定义域为，

，

当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点；

当时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，当时，，

所以要满足函数有2个零点，只需，

即，

整理得，

设，函数的定义域为，

，所以在定义域上单调递增，

且，则不等式的解集为，

所以的取值范围为；

【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方

22. 数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，

（1）求E的极坐标方程；

（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；

（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.

【小问1详解】

将，代入曲线E，

得，即，

所以，E的极坐标方程为；

【小问2详解】

不妨设，，

即，，

则的面积

由于，

令，

则，，

则，

故当时，，

即的面积的最大值为.