初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理精品课后练习题

专题3.2�勾股定理中的最短路线与翻折问题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（    ）（取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm

2．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（    ）

A． B．28 C．20 D．

3．一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（ 　 ）

A． B．8 C．10 D．12

5．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ）

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米

6．如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是（    ）

A． B． C．10 D．

7．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）．

A． B． C． D．

8．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（    ）.

A． B． C．3 D．

9．如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（    ）

A． B．1 C． D．

10．如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（    ）

A．12 B．25 C．20 D．15

11．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ）

A．2 B． C． D．4

12．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

13．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是           ．

14．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为      dm．

15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是            ．

16．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为      m．

17．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是       cm

18．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为      ．

19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为       

20．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为      ．

21．如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是        ．

22．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为                 ．

23．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．

(1)若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数；

(2)若AB＝6，AD＝18，求CF的长．

24．如图，折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，，．

(1)求的长；

(2)求的长．

参考答案：

1．A

【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．

【详解】解：展开圆柱的侧面如图，

根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．

由题意，得AC=3×16÷2=24，

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

cm．

∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，

∴最短路径长为60cm.

故选：A．

【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．

2．C

【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

详解：如图所示，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B= (cm)．

故选：C．

点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键．

3．C

【分析】根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．

【详解】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，

∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度，

∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12，

最长时等于牙刷斜边长度是：，

∴h的取值范围是：18−13⩽h⩽18−12，

即5⩽h⩽6.，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．

4．C

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短，利用勾股定理从而可得答案．

【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为12cm， 则BC=cm．

又因为AC=8cm，

所以：．

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．

故选：．

【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形利用勾股定理是解题的关键．

5．B

【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.

【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，

作点A的对称点B，

连接PB，

则PB为所求，

根据题意，得PC=8，BC=6，

根据勾股定理，得PB=10，

故选B.

【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.

6．C

【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．

【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是8和6，

则所走的最短线段是=10；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是11和3，

所以走的最短线段是；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是9和5，

所以走的最短线段是；

∵10＜＜，

三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程=10，

故选：C．

【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．

7．B

【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．

【详解】解：ABCD是长方形纸片，

∴AB=CD=3，

，

∴，

∴BF=4，

∴AF=，

∴AF=AD=BC=5，CF=1，

设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，

x2=(3-x)2+1，

解得，x= ，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．

8．D

【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．

【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，

∴AD=BD=2，

∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，

∴DN=CN，

∴BN=BC-CN=6-DN，

在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，

∴DN2=（6-DN）2+4，

∴DN=，

∴CN=DN=，

故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．

9．C

【分析】根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．

【详解】解：∵在，，，，

∴,

设，则，

由折叠可知，

在中，，

∴，

∴，

∴．

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了利用勾股定理列方程求线段，准确列出方程是解题的关键．

10．D

【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．

【详解】解：∵在中，，，，

，

∵折叠，点B与点重合，

，

， ， ，

设，则 ，

又 ，

在中， ，

即 ，

解得： ，

．

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．

11．B

【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．

【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴，

由翻折得AE=AB=10，DE=BD，

∴CE=AE-AC=10-8=2，

在Rt△CED中，，

∴，

解得BD=，

故选：B．

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．

12．B

【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．

【详解】解：由折叠的性质知：，，

在中，，，

由勾股定理可得：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．

13．5

【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．

【详解】解：分三种情况：如图1，,

如图2，，

如图3，，

，

它爬行的最短路程为5，

故答案为：5．

【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．

14．17

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：，

解得．

故答案为：17．

【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．

15．130cm

【分析】先画出图形平面展开图，然后根据两点之间线段最短确定最短路径，最后运用勾股定理进行解答即可．

【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，

∴ (cm)

即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．

故答案为：130cm．

【点睛】本题主要考查了平面展开图－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．

16．1

【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，

则A′B为最短距离．

由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，

∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，

∴A′B＝

＝

＝1（m）．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．

17．16

【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．

【详解】

如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，

∴，，，，

此时最小，

∵点是中点，

∴cm，

∴cm，cm，

在中，cm，

∴cm，

故答案为：16．

【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．

18．/5厘米

【分析】把圆柱体沿展开，则的长是圆柱体底面圆周长的一半，在中利用勾股定理即可求出的长，的长就是蚂蚁在圆柱体的侧面爬行的最短路程．

【详解】把圆柱体沿展开，得到矩形，如下图所示，

连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线．

∵圆柱体的底面圆周长为，

∴

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆柱体的侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理的应用，熟练掌握圆柱体的侧面展开的特征是解本题的关键．

19．4

【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．

【详解】∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B＝90°；

∵点C′为AB的中点，AB＝6，

∴BC′＝3；

由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x，

由勾股定理得：

x2＝32＋(9−x)2，

解得：x＝5，

∴BF＝9−5＝4．

故答案为4．

【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．

20．

【分析】设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．

【详解】解：设，则，

由折叠的性质可知，，，．

在中，，

．

在中，，即，

解得．

的长为．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

21．

【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案.

【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3，

由折叠可得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.

22．

【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．

【详解】解：∵是的中点，，，

∴，

由折叠的性质知：，

设，

则，

在中，根据勾股定理得：，

即：，解得，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．

23．(1)70°；

(2)8．

【分析】（1）根据平角的定义和折叠的性质即可得到结论；

（2）首先设CF=x，则FG=CF=x，BF=BC-CF=18-x，然后在直角△BGF利用勾股定理求出x即可．

【详解】（1）∵将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．

∴∠BEF=∠DEF，

∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，∠AEB =40°

∴∠DEF=70°

∵AD∥BC，

∴∠BFE=∠DEF=70°；

（2）由题意知CD=AB=6

设CF=x，则BF=BC-CF=18-x，

由折叠得：FG=CF=x，BG=CD=6，

在Rt△BGF中：BG2+GF2=BF2  

62+ x2=（18-x）2，

解得：x=8，即：CF=8cm．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，熟练掌握翻折的性质是解题关键．

24．(1)

(2)

【分析】（1）根据矩形的折叠和勾股定理求出的长即可；

（2）先求出的长，设，则，，再利用勾股定理计算即可．

【详解】（1）解：∵四边形为长方形，

∴，，，

根据折叠可知，，

在中，根据勾股定理可得：

．

（2）解：∵；

设，则，，

在中，由勾股定理得，

即，

解得：，

．

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握准确计算是解题的关键．