四川省南充市仪陇县仪陇中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

仪陇中学2023—2024学年度上期第一次月考

高二数学试卷

命题人：何文科  审题人：张虹

满分：150分  考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1．若，则的虚部为（    ）

A．     B．－1     C．1     D．3

2．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ）

A．  B．   C．   D．

3．已知角终边上有一点，则为（    ）
A．第一象限角     B．第二象限角

C．第三象限角     D．第四象限角

4．一个水平放置的平面四边形采用斜二侧画法得到的直观图是菱形，如图所示，则平面四边形的形状为（    ）

A．正方形     B．长方形   C．菱形     D．梯形

5．已知，若，则的最小值为（    ）

A．5      B．6    C．7     D．9

6．已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（    ）

A．      B．   C．     D．

7．计算等函数值时，计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算该多项式的值求出原函数近似值，如，，其中，英国数学家泰勒（B.Taylor,1685－1731）发现了这些公式，从中可以看出，右边的项用得越多，计算得出和的值也就越精确．运用上述思想，可得到的近似值为（    ）

A．－0.50     B．－0.52    C．－0.54    D．－0.56

8．在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）

A．     B．   C．    D．

二、多选题（每小题5分，选错不得分，部分选对得2分，共20分）

9．在中，三个内角分别为，下列结论错误的是（    ）

A．

B．若，则是锐角三角形

C．

D．若，则

10．已知向量，则（    ）

A．    B．

C．    D．

11．下列命题中，真命题的是（    ）
A．，都有

B．，使得

C．若，则

D．式子的最小值为2

12．如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（    ）

A．三棱锥的体积不变

B．直线与直线的所成角的取值范围为

C．直线与平面所成角的大小不变

D．二面角的大小不变

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，则=______．

14．已知，若，则=______．

15．电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．

16．如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做面，使得，则面与正方形的交线的长度为______．

四、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）

17．已知

（1）求的坐标；

（2）若四点构成平行四边形，求点的坐标．

18．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态。”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用．某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）的市民为400人．

（1）求的值及频率分布直方图中的值；

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导．据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？

19．如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

20．已知函数．

（1）求的值．

（2）求函数的最小正周期和单调递增区间．

（3）求在区间上的最大值和最小值．

21．在四棱锥中，．底面为梯形，，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

22．已知．

（1）求函数在的最小值．

（2）对于任意，都有成立，求的取值范围．

参考答案：

1．B  2．A  3．D  4．B  5．D  6．A

【解析】由，结合题中数据，即可求解．

【详解】设点到平面的距离为，

因为正方体的棱长为1，所以

由题意可知，即，

所以．

故选：A．

7．C

【分析】运用诱导公式，结合题中所给公式进行求解即可．

【详解】．

故选：C

8．B

【详解】

由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．

①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，由勾股定理得

②若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，在直角三角形中，由勾股定理得．

③若把面和面展开在同一个面内，过作与行的直线，过作与平行的直线，所作两线交于点，则在直角三角形中，由勾股定理得．

综上可得从到两点的最短路径的长度为．

答案：

9．BC

【分析】利用诱导公式可判定；注意考察角可能为钝角，判定B；由，根据三角形内角的范围，利用三角函数线可得或，利用三角形内角和定理否定后者，即可判定D正确．

【详解】对A：∵，∴，

∴，故A正确；

对B：若，则为锐角，但或可能是钝角，故B错误；

对C：，故C错误；

对D：，由于，∴或，但在三角形中不可能有，故，故D正确．

故选：BC．

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，三角函数线，和三角函数值的符号的综合应用，属基础题．

10．CD

【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解．

【详解】对于A，∵，∴，

∴，故A错误；

对于B，∵，

则，故B错误；

对于C，∵，

则，

则，故C正确；

对于D，∵，∴，∴，故D正确．

故选：CD．

11．ABC

【分析】AC选项，作差法比较出大小；B选项，解方程，得到，B正确；D选项，利用基本不等式进行求解．

【详解】A选项，，故，都有，A正确；

B选项，变形得到，解得，

故，使得，B正确；

C选项，，

因为，所以，

故，故，C正确；

D选项，，

当且仅当时，等号成立，但无实数解，故式子的最小值不是2，D错误．

故选：ABC

12．ABD

【分析】对于选项A，由已知可得，可得上任意一点到平面的距离相等，由此可判断；

对于选项B，由，可得直线与直线的所成角即为直线与直线的所成角，由此可判断；

对于选项C，点在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，可判断；

对于选项D，当点在直线上运动时，，即二面角的大小不受影响，故D正确．

【详解】对于选项A，因为，，，所以，所以上任意一点到平面的距离相等，又，所以三棱锥的体积不变，故A正确；

对于选项B，因为，点在直线上运动，所以直线与直线的所成角即为直线与直线的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确；

对于选项C，点在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故C错误；

对于选项D，当点在直线上运动时，，即二面角的大小不受影响，故D正确．

故选：ABD．

13．0.02

14．1

【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解．

【详解】由向量，因为，可得，解得．

故答案为：1．

15．0

【分析】根据图象可求函数的解析式，从而可求对应的函数值．

【详解】由函数的图象可得，且，故，

而，故，

解得，故，

故，

故答案为：0．

16．

【分析】首先取的中点，连接，易证，从而得到点在平面的轨迹为，再计算的长度即可．
【详解】取的中点，连接，如图所示：

因为，所以．

因为，所以．

又因为，，所以．

因为，所以点在平面的轨迹为．所以．

故答案为：

17．【详解】（1）∵，

∴，

（2）∵四边形为平行四边形，∴，

又，∴，∴，即．

18．【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得

（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在有1人，有2人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的3人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为．

【点睛】本题考查互斥事件的概率，利用对立事件的概率关系求概率，属于简单题．

19．【详解】

（1）因为是矩形，所以，

又，所以

（2）因为是矩形，所以．

因为，且，，所以，

而，所以

因，，所以，

因为，所以

20．【详解】（1）∵

，

∴；

（2）最小正周期，

由，得，

∴单调递增区间为；

（3）∵，∴，

∴，∴，

∴在上最大值为，最小值为．
21．（第2小题用射影面积法求解扣2分）

【详解】（Ⅰ）证明：因为，，，所以，

又因为，所以

（2）∵，∴，

又，

所以，

延长交于，过作，连接，

则为二面角的平面角

中，，则

中，，则，即，

故二面角的余弦值为．

22．【详解】（1）令，则，故．

由对勾函数性质可知：在上单调递增。

又由复合函数性质可知：在上单调递增。

故．

（2）由（1）知，函数在上为增函数，

当时，，

∵对于，使得成立，

∴对于任意成立，

即对于任意成立，

由对于任意成立，则，

∵，则，∴．

（*）式可化为，

即对于任意成立，即成立，

即对于任意成立，

因为，所以对于任意成立，

即任意成立，所以，

由得，所以的取值范围为．