2024年高考数学第一轮复习13_专题五52三角恒等变换（专题试卷+讲解PPT）

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5.2　三角恒等变换考点　三角恒等变换1.(2021全国乙文,6,5分)cos2= (　　)A.答案　D　解析　解法一:cos2.解法二:cos2====.2.(2021全国甲理,9,5分)若α∈,tan 2α=,则tan α= (　　)A.答案　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析　∵tan 2α=,且α∈,∴,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A.疑难突破　将tan 2α转化为是本题的突破口.3.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则= (　　)A.-答案　C　=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=.故选C.4.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　)A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1答案　C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 5.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　)A.　　　　　B.C.-　　　　　D.-答案　B　本题考查三角恒等变换.由sin α=,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=.故选B.6.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)A.-　　　B.-　　　C.　　　D.答案　A　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α==,∴sin 2α=-.解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.7.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　)A.-　　　B.　　　C.-　　　D.答案　D　本题考查二倍角余弦公式.因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.8.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=(　　)A.　　　B.　　　C.1　　　D.答案　A　当tan α=时,原式=cos2α+4sin αcos α====,故选A.解后反思　将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键.评析　本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..9.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-,则cos 2θ=(　　)A.-　　　B.-　　　C.　　　D.答案　D　解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ===.故选D.解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±,因而cos 2θ=1-2sin2θ=.评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题.10.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)A.-　　　B.　　　C.-　　　D.答案　D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.11.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan ,则=(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4答案　C　====,∵tan α=2tan ,∴==3.故选C.12.(2015重庆文,6,5分)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A　tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A.13.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A　cos2==,把sin 2α=代入,原式=.选A.评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.14.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　)A.　　　B.　　　C.-　　　D.-答案　D　∵cos=,∴sin 2α=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-.故选D.思路分析　利用诱导公式化sin 2α=cos,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解　cos=(cos α+sin α)=⇒cos α+sin α=⇒1+sin 2α=,∴sin 2α=-.故选D.导师点睛　求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.15.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　. 答案　 解析　设a=sin α,b=sin β=cos α,则解得a=,b=-.∴sin α=a=,cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=. 16.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. 答案　;1解析　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1.17.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　. 答案　解析　本题主要考查两角差的正切公式.tan===,解得tan α=.18.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=　　　　. 答案　-解析　解法一:∵sin=×(sin θ+cos θ)=,∴sin θ+cos θ=①,∴2sin θcos θ=-.∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-=-②,由①②得sin θ=-,cos θ=,∴tan θ=-,∴tan==-.解法二:∵+=,∴sin=cos=,又2kπ-<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-<θ+<2kπ+,k∈Z,∴cos=,∴sin=,∴tan==,∴tan=-tan=-.评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.19.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=　　　　. 答案　解析　由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=.20.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　. 答案　3解析　tan β=tan[(α+β)-α]===3.21.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. 答案　解析　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.22.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　. 答案　-1解析　由sin α+2cos α=0得tan α=-2.2sin αcos α-cos2α=====-1.23.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求的值.解析　(1)因为tan α=2,所以tan===-3.(2)因为tan α=2,所以=====1.24.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sin α=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析　(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-.故sin=sincos α+cossin α=×+×=-.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos 2α+sinsin 2α=×+×=-.评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.