2024年高考数学第一轮复习专题训练第四章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

2.掌握诱导公式，并会简单应用．

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：               .

(2)商数关系：                         .

2．三角函数的诱导公式

常用结论

同角三角函数的基本关系式的常见变形

sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　 　)

(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　 　)

(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　 　)

(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　 　)

教材改编题

1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)

A．－  B.  C．－2   D．2

2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D．2

3．化简·cos(2π－α)的结果为        ．

题型一　同角三角函数基本关系

例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)

A．θ∈   B．cos θ＝－

C．tan θ＝－   D．sin θ－cos θ＝

(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝        .

(3)已知tan α＝2，则＝        ；sin2α＋cos2α＝        .

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　)

A.  B．－  C．－3  D．3

(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

题型二　诱导公式

例2　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)

A．sin(3π－x)＝－sin x

B．sin ＝－cos 

C．cos＝sin 3x

D．cos＝－sin 2x

(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为        ．

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

跟踪训练2　(1)若＝，则tan α等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

例3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.则＝        .

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．

跟踪训练3　(1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　)

A.  B.  C.  D．2

(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝        ，sin＝        .