2024年高考数学第一轮复习专题训练第二章　§2.7　指数与指数函数

§2.7　指数与指数函数

考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

知识梳理

1．根式

(1)一般地，如果xn＝a，那么      叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)式子叫做       ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(3)()n＝      .

当n为奇数时，＝     ，

当n为偶数时，＝|a|＝

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂：＝     (a>0，m，n∈N*，n>1)．

正数的负分数指数幂：＝       ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．

0的正分数指数幂等于     ,0的负分数指数幂没有意义．

3．指数幂的运算性质

aras＝      ；(ar)s＝       ；(ab)r＝        (a>0，b>0，r，s∈Q)．

4．指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是        .

(2)指数函数的图象与性质

常用结论

1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.

2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)＝－4.(　 　)

(2)2a·2b＝2ab.(　 　)

(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　 　)

(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　 　)

教材改编题

1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)

A．不确定  B．0  C．1  D．2

2．计算：＝________.

3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.

题型一　指数幂的运算

例1　计算：

(1)(－1.8)0＋－2·－＋；

(2)(a>0，b>0)．

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思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加．

②运算的先后顺序．

(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

跟踪训练1　计算：

(1) ；

(2).

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题型二　指数函数的图象及应用

例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)

A．a<b

B．若a<0，则b<a<0

C．|a|<|b|

D．若0<a<log32，则ab<ba

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

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思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1

B．0<a<1

C．b>0

D．b<0

题型三　指数函数的性质及应用

命题点1　比较指数式大小

例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)

A．b<c<a   B．c<a<b

C．a<b<c   D．b<a<c

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命题点2　解简单的指数方程或不等式

例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)

A．[2,4]   B．(－∞，0)

C．(0,1)∪[2,4]   D．(－∞，0]∪[1,2]

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命题点3　指数函数性质的综合应用

例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．

(1)求a的值；

(2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．

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思维升华　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．

跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于原点对称

B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的值域为(－1,1)

D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0

(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．