2024年高考数学第一轮复习专题训练第九章　§9.2　用样本估计总体

§9.2　用样本估计总体

考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

知识梳理

1．百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有         的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据           这个值．

2．平均数、中位数和众数

(1)平均数：＝               ．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最       的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的         (当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数       的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

3．方差和标准差

(1)方差：s2＝             或－2.

(2)标准差：s＝              .

4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　 　)

(2)方差与标准差具有相同的单位．(　 　)

(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　 　)

(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　 　)

教材改编题

1．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

2．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位数为(　　)

A．88.5  B．89  C．91  D．89.5

3．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．

题型一　样本的数字特征和百分位数的估计

例1　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　)

A．92,85   B．92,88

C．95,88   D．96,85

延伸探究  本例中，第70百分位数是多少？

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(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：

396　275　268　225　168　166　176　173　188　168　141　157

若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是(　　)

A．极差   B．中位数

C．众数   D．平均数

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　计算一组n个数据第p百分位数的步骤

跟踪训练1　(1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为(　　)

A．102  B．103  C．109.5  D．116

(2)(多选)冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会．自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则(　　)

A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数

B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差

C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数

D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差

题型二　总体集中趋势的估计

例2　为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数．若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．

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思维升华　频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．

跟踪训练2　(2022·哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值及众数、中位数；

(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

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题型三　总体离散程度的估计

例3　(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下．

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s.

(1)求，，s，s；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．

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思维升华　总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

跟踪训练3　(2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．

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