2024年高考数学第一轮复习专题训练第九章　§9.4　列联表与独立性检验

§9.4　列联表与独立性检验

考试要求　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．

知识梳理

1．分类变量

为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．

2．列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：

(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y      的方法称为χ2独立性检验．

如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　 　)

(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　 　)

(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(　 　)

(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(　 　)

教材改编题

1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　　)

A．均值   B．方差

C．独立性检验   D．回归分析

2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)

A.27,38   B．28,38

C．27,37   D．28,37

3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．

题型一　列联表与χ2的计算

例1　(1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：

则a－b－c等于(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：

在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为(　　)

A．1.255   B．38.214

C．0.003 7   D．2.058

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．

跟踪训练1　某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.

题型二　列联表与独立性检验

例2　(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

(1)根据上表，分别估计这两家公司在甲、乙两城之间长途客车准点的概率；

(2)能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

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思维升华　独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

(2)根据公式χ2＝计算．

(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．

跟踪训练2　为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚．为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A组，将“70后与80后”作为B组，并从A，B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整理数据后获得如下列联表：

单位：人

(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人，问应在A组、B组中各抽取多少人？

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(2)能否依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关？

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

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题型三　独立性检验的综合应用

例3　体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020－2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1 000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到如表数据：

约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”．

(1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数；

(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“数学成绩达标”是否与“运动达标”相关．

附：χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)．

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思维升华　独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．

跟踪训练3　某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．

(1)该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；

(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析两个店的顾客下单率有无差异．

参考公式：＝，＝－；χ2＝，x0.1＝2.706.

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