2024年高考数学第一轮复习专题训练第七章　§7.6　空间向量的概念与运算

§7.6　空间向量的概念与运算

考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

知识梳理

1．空间向量的有关概念

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________________．

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量a，b的数量积a·b＝________________．

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．

(3)空间位置关系的向量表示

常用结论

1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　 　)

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　 　)

(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0.(　 　)

(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　)

教材改编题

1. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c   B.a＋b＋c

C．－a－b－c   D．－a－b＋c

2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．垂直   D．不能确定

3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.

题型一　空间向量的线性运算

例1　(1)在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)

A．(2,3,3)   B．(－2，－3，－3)

C．(5，－2,1)   D．(－5,2，－1)

(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b＋c

B.a－b＋c

C.a＋b－c

D．－a＋b＋c

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思维升华　用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

跟踪训练1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)

A．(0,3，－6)   B．(0,6，－20)

C．(0,6，－6)   D．(6,6，－6)

(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

①化简－－＝________；

②用，，表示，则＝________.

题型二　空间向量基本定理及其应用

例2　(1)下列命题正确的是(　　)

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面

C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0

D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc

(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

B．若，共线，则AB∥CD

C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面

D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件

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思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较

跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　)

A．2  B．－2  C．1  D．－1

(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

题型三　空间向量数量积及其应用

例3　(1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是______．

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(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

①求线段AC1的长；

②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

③求证：AA1⊥BD.

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思维升华　空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．

跟踪训练3　(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．

①求〈，〉；

②求在上的投影向量．

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题型四　向量法证明平行、垂直

例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

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思维升华　(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．

(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．

跟踪训练4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；

(2)求证：平面EGF∥平面ABD.

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