2024年高考数学第一轮复习专题训练第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值

§3.3　导数与函数的极值、最值

考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．

知识梳理

1．函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧          ，右侧         ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧         ，右侧          ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为          ，极小值和极大值统称为       ．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条            的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的       ；

②将函数y＝f(x)的各极值与               比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

常用结论

对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　 　)

(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　 　)

(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　 　)

(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　 　)

教材改编题

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．

3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.

题型一　利用导数求解函数的极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)

A．当x＝－1时，f(x)取得极小值

B. f(x)在[－2,1]上单调递增

C．当x＝2时，f(x)取得极大值

D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性

听课记录：______________________________________________________________

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命题点2　求已知函数的极值

例2　(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值．

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命题点3　已知极值(点)求参数

例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．2或6

(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

(2)验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　)

A．－1或3   B．1或－3

C．3   D．－1

(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若 x＝2 是函数 f(x) 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是 (　　)

A．(0,2]   B．[2，＋∞)

C.   D.

题型二　利用导数求函数最值

命题点1　不含参函数的最值

例4　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)

A．－，   B．－，

C．－，＋2   D．－，＋2

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命题点2　含参函数的最值

例5　已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求f(x)在上的最大值g(a)．

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思维升华　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．

(2)已知函数h(x)＝x－aln x＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围．

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