2024年高考数学第一轮复习专题训练第十章　§10.4　随机事件与概率

§10.4　随机事件与概率

考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．

知识梳理

1．样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的          称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的          ，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的       称为随机事件，简称事件．

②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．

③随机事件的极端情形：             、             ．

2．两个事件的关系和运算

3．古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有         ；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性        ．

4．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝     ＝.

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

5．概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝          ；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝         ；

性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝               ．

6．频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐         事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

(2)频率稳定性的作用

可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

常用结论

1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．

2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　 　)

(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　 　)

(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　 　)

(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　 　)

教材改编题

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．至少有一次中靶

B．两次都中靶

C．只有一次中靶

D．两次都不中靶

2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A．0.2  B．0.3  C．0.7  D．0.8

3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．

题型一　随机事件

命题点1　随机事件间关系的判断

例1　(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　)

A．A∩D＝∅   B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D   D．A∪B＝B∪D

(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)

A．至少有一个红球；至少有一个白球

B．恰有一个红球；都是白球

C．至少有一个红球；都是白球

D．至多有一个红球；都是红球

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命题点2　利用互斥、对立事件求概率

例2　某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

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思维升华　事件关系的运算策略

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．

跟踪训练1　(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：

Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；

D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；

E＝“点数为奇数”；

F＝“点数为偶数”．

下列结论正确的是(　　)

A．C1与C2对立   B．D1与D2不互斥

C．D3⊆F   D．E⊇(D1∩D2)

(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．

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题型二　古典概型

例3　(1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

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思维升华　利用公式法求解古典概型问题的步骤

跟踪训练2　(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.

题型三　概率与统计的综合问题

例4　北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．

(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．

参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

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思维升华　求解古典概型的综合问题的步骤

(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；

(2)判断事件是否为古典概型；

(3)选用合适的方法确定样本点个数；

(4)代入古典概型的概率公式求解．

跟踪训练3　从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．

(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)

(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．

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