2024年高考数学第一轮复习专题训练81练第十章　§10.9　概率、统计与其他知识的交汇问题[培优课]

1．(2023·齐齐哈尔模拟)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．

(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少？

(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0<p<1)．

①记小李以3∶1取胜的概率为f(p)．若当p＝p0时，f(p)取最大值，求p0的值；

②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及均值．

2．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．

(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.

①证明：为等比数列；

②证明：当n≥2时，Pn≤.

3．某盒子内装有60个小球(除颜色之外其他完全相同)，其中有若干个黑球，其他均为白球．为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，作为一次实验结果．进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目xi.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1)．

(1)求X的分布列；

(2)实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目xi如表所示.

设函数f(p)＝n P(X＝xi)．

①求f(p)的极大值点p0；

②据①估计该盒子中黑球的数目，并说明理由．

4．某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．

(1)求一天内被感染的人数X的概率P(X)与a，p的关系式和X的均值；

(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第2天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值记为En(n≥2)．

①求数列{En}的通项公式，并证明数列{En}为等比数列；

②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1＋p)－p，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，并根据计算结果说明戴口罩的必要性．(取a＝10)(结果保留整数，参考数据：ln 5≈1.6，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7)