2024年高考数学第一轮复习配套答案

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第九章　统　计
第45讲　随机抽样的方法、用样本估计总体
1. B　【解析】 由题意得n－n＝8，所以n＝72.
2. D　【解析】 对于A，由图可得样本数据分布在[6,10)的频率为0.08×4＝0.32，所以A正确．对于B，由图可得样本数据分布在[10,14)的频数为100×(0.1×4)＝40，所以B正确；对于C，由图可得样本数据分布在[2,10)的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，所以C正确．对于D，由图可估计总体数据分布在[10,14)的比例为0.1×4＝0.4＝40%，故D不正确．
3. D　【解析】 由题意得，甲射击的平均成绩为甲＝＝8，众数为8，中位数为8；乙射击的平均成绩为乙＝＝8，众数为7，中位数为8.故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数．
4. C　【解析】 在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以数据位于[25,30)的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，前两个矩形的面积之和为0.01×5＋0.2＝0.25，前三个矩形的面积之和为0.05＋0.2＋0.07×5＝0.6，所以中位数位于区间[30,35)．设中位数为a，则0.05＋0.2＋(a－30)×0.07＝0.5，解得a≈33.6.
5. AC　【解析】 由折线图知，小组A打分的9个分值排序为42,45,46,47,47,47,50,50,55，小组B打分的9个分值排序为36,55,58,62,66,68,68,70,75.对于A，小组A打分的分值的众数为47，故A正确．对于B，因为9×80%＝ 7.2，所以应选排序第8，所以小组B打分分值的第80百分位数为70，故B不正确；对于C，小组A打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平的评估相对波动较小，所以小组A更像是由专业人士组成的，故C正确．对于D，小组A打分的分值的均值约为47.7，小组B打分的分值的均值为62，由数据对均值的离散程度可知小组B的方差较大，故D不正确．
6. BCD　【解析】 对于A，由表中数据可知，男生的阅读量为24.5本，女生的阅读量为25.5本，则200名学生的平均阅读量在区间(24.5,25.5)内，故A错误；对于B，由于200×75%＝150，阅读量在[0,30)内的有7＋8＋31＋29＋25＋26＝126(人)，在[30,40)内的有30＋32＝62(人)，故这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内，故B正确；对于C，设在区间[0,10)中的初中生有x人，由于在[0,10)内的人数为15，则x∈[0,15]，x∈N，当x＝0时，初中学生共116人，中位数为第58个与第59个的平均数，此时区间[10,20)有25人，[20,30)有36人，故中位数在[20,30)内；当x＝15时，初中学生共131人，中位数为第66个，此时区间[0,10)有15人，[10,20)有25人，[20,30)有36人，故中位数在[20,30)内．所以当区间[0,10)内的人数最多和最少时，中位数都在区间[20,30)内，故这200名学生中初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，C正确；对于D，设在区间[0,10)中的初中生有x人，由于在[0,10)内的人数为15，故x∈[0,15]，x∈N，当x＝0时，初中学生共116人，116×25%＝29，此时区间[10,20)有25人，[20,30)有36人，故25%分位数在区间[20,30)内；当x＝15时，初中学生共131人，131×25%＝32.75，此时区间[0,10)有15人，[10,20)有25人，共40人，25%分位数在区间[10,20)内．故这200名学生中初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内，D正确．
7. 1 800　【解析】 由题设，抽样比为＝.设甲设备生产的产品为x件，则＝50，所以x＝3 000，故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.
8. 360　【解析】 第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故n＝2 000＋＝3 000.又第四、五块小矩形的面积均为S＝0.06，故a＝[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.000 09，所以m＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m－n＝360.
9. 4　【解析】 由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2]，得s2＝(x＋x＋x＋x)－2.又已知s2＝(x＋x＋x＋x－16)＝(x＋x＋x＋x)－4，所以2＝4，所以＝2，则[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝＋2＝4.
10. 【解答】(1) 甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，乙＝×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分．
(2) 由(1)知甲＝乙＝85分，所以s＝[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，s＝[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为甲＝乙，s0，变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；当x＝52时，＝0.25×52＋20＝33，故D不正确．
6. CD　【解析】 由散点图可知这两个变量为负相关，所以r11.
5. BC　【解析】 对于A，回归分析中，样本相关系数绝对值越大，拟合效果越好，A不正确；对于B，由y＝c·ekx两边取对数得lny＝kx＋lnc，由题意知k＝0.3，lnc＝4，即c＝e4，B正确；对于C，由公式知，C正确．对于D，经验回归直线＝x＋及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，D不正确．
6. AB　【解析】 因为＝＝4，＝＝5，所以z＝1.3x＋a的中心点为(4,5)，代入z＝1.3x＋a，可得a＝5－1.3×4＝－0.2.由z＝lny，y＝cekx，得z＝ln(cekx)＝kx＋lnc，所以k＝1.3，lnc＝a＝－0.2，即c＝e－0.2.
7. －　【解析】 令t＝x2，则经验回归方程y＝t＋必过样本中心点(，)，又＝，y＝，则＝×＋，解得＝－.
8. 3　【解析】 由y1y2y3y4y5y6＝e48⇒ki－6＝18k－6＝48，则k＝3.
9. e－2　【解析】 由表格数据知＝(20＋23＋25＋27＋30)＝25，＝(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，代入＝0.2＋a得a＝3－0.2×25＝－2，所以z＝0.2x－2，即ln y＝0.2x－2，所以y＝e0.2x－2＝e－2·e0.2x，所以c1＝e－2.
10. 【解答】(1) 由y＝ebx＋a，得z＝lny＝bx＋a.由题意＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，＝i＝×23.52＝3.92，所以＝＝≈－0.26，＝－＝3.92－(－0.26)×3.5＝4.83，所以＝ln＝－0.26x＋4.83，即y关于x的回归方程为y＝e－0.26x＋4.83.令e－0.26x＋4.835⇒4t－1>e5≈148.4⇒t>37.35，所以需要38天呼吸机日生产量可超过500台．
12. 【解答】(1) 因为AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，所以AB∥l.
(2) 因为AP⊥BP，所以PA2＋PB2＝AB2＝4，又PA＝PB，所以PA＝PB＝.又PD＝，所以PA2＋AD2＝PD2，所以AD⊥PA，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB.如图，取AB，CD的中点分别为O，M，连接MO，MP，OP，则MO∥AD，所以MO⊥平面PAB，又OP⊂平面PAB，所以MO⊥OP.因为PA＝PB，所以OP⊥AB.以O为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则P(1,0,0)，C(0,1,2)，D(0，－1，2)，所以＝(－1,1,2)，＝(－1，－1,2)．设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则即取z＝1，得x＝2，y＝0，则n＝(2,0,1)．又m＝(0,0,1)是平面PAB的一个法向量，所以cos〈n，m〉＝＝＝，即平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为＝.

(第12题)
第3课时　残差分析与决定系数
1. C　【解析】 因为样本数据所对应的点都在直线y＝－x＋3上，所以R2＝1.
2. C　【解析】 样本中心点在回归直线上，A正确；残差平方和越小的模型，拟合效果越好，B正确；R2越大拟合效果越好，C不正确；当|r|的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，D正确．
3. D　【解析】 由题意结合经验回归方程的预测作用可得，当x＝6时，＝6.5×6＋17.5＝56.5，则随机误差的残差为50－56.5＝－6.5.
4. C　【解析】 由题意得3＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，由于R2≈0.96，所以该回归模型的拟合效果比较好，故A，B错误；在线性回归模型中R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．
5. AD　【解析】 对于A，根据散点图易得变量y与x正相关，故A正确；对于B，由散点图可得y与x的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，故B错误；对于C，若选择模型二，y＝kex＋b，令t＝ex，则图象经过点(，)，故C错误；对于D，当x＝13时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，故D正确．
6. ABD　【解析】 由散点图可得二氧化碳排放量y与时间x正相关，故A正确；因为R>R，所以回归模型的拟合程度更好，故B正确；当x＝4时，＝1.58×4＋91.44＝97.76，而98.06－97.76＝0.30，故C错误；当x＝10时，＝1.58×10＋91.44＝107.24，即利用经验回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨，故D正确．
7. R　【解析】 由散点图知，用y＝c1ec2x拟合的效果比用＝x＋拟合的效果要好，所以R>R，故较大者为R.
8. 3.2　【解析】 把x＝1,2,3,4依次代入经验回归方程＝19.2x＋12，所得预测值依次为1＝31.2，2＝50.4，3＝69.6，4＝88.8，对应的残差依次为0.8，－2.4,2.4，－0.8，它们的平均数为0，所以4个残差的方差为s2＝＝3.2.
9. 4.5　【解析】 因为样本(4,3)处的残差为－0.15，即y－＝3－(0.7×4＋)＝－0.15，所以＝0.35，所以经验回归方程为＝0.7x＋0.35.因为＝＝4.5，＝＝，且样本中心点(，)在经验回归直线上，所以＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝4.5.
10. 【解答】(1) ＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(3＋7＋8＋10＋12)＝8，x＝12＋22＋32＋42＋52＝55，xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141，＝＝＝2.1，＝－＝8－2.1×3＝1.7，因此，经验回归方程为＝2.1x＋1.7.
(2) 模型①的残差表为
x
1
2
3
4
5
y
3
7
8
10
12

3.8
5.9
8
10.1
12.2

－0.8
1.1
0
－0.1
－0.2
画出残差图，如图所示．

(第10题)
结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程．理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x轴．
(3) 根据模型①中y与x的经验回归方程，当x＝6时，＝2.1×6＋1.7＝14.3，所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．
11. 【解答】(1) 由题意得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，＝×936＝156，所以＝＝＝46，且＝－＝156－46×3.5＝－5，所以y关于x的经验回归方程为＝46x－5.又当x＝1时，1＝41；当x＝2时，2＝87；当x＝3时，3＝133；当x＝4时，4＝179；当x＝5时，5＝225；当x＝6时，6＝271.故 (yi－i)2＝556，R2＝1－＝1－≈0.99.由决定系数R2近似为0.99，接近1，说明拟合效果较好．
(2) 在(1)中求得的经验回归方程中，取x＝7，可得＝46×7－5＝317，故若要求在2023年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划317个停车位．
第47讲　数据分析——列联表与独立性检验
1. A　【解析】 a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.
2. C　【解析】 对于A，物理类的学生中选择政治的比例为＝，历史类的学生中选择政治的比例为＝，因为ln 3⇒t>15ln 3⇒t>16.485，所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲．
11. 【解答】(1) 由题意可知，列联表如下：

满意
不满意
合计
上班族
15
40
55
非上班族
35
10
45
合计
50
50
100
零假设为H0：市民对交通的满意度与是否为上班族无关联，由列联表可得χ2＝＝≈25.253>10.828，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为市民对交通的满意度与是否为上班族有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2) ①当n＝5时，X5的取值为1,2,3,4,5，由(1)可知市民的满意度和不满意度均为，所以P(X5＝1)＝，P(X5＝2)＝，P(X5＝3)＝，P(X5＝4)＝，P(X5＝4)＝，所以X5的分布列为
X5
1
2
3
4
5
P





所以E(X5)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
②E(Xn)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－，当n趋向于正无穷大时，E(Xn)趋向于2，此时E(Xn)恰好为不满意度的倒数，也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民．
12. ABC　【解析】 由题知b＝4，c＝，离心率＝＝⇒a＝2，则c＝2，双曲线C的右顶点为(2,0)，A正确．双曲线的焦距为2c＝4，B正确．双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，C正确．直线y＝3x过原点，且斜率为3，大于渐近线的斜率2，所以直线y＝3x与双曲线没有交点，D错误．
13. 【解答】(1) 由题意得，当k＝3时，f(x)＝x3－6x2＋9x＋1，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,3)
3
f′(x)

＋
0
－
0
f(x)
1

5

1
故f(x)在(0,3)内的极大值点为x＝1，无极小值点．
(2) f′(x)＝3x2－3(k＋1)x＋3k＝3(x－1)(x－k)．①当k≤1时，∀x∈[1,2]，f′(x)≥0，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1－(k＋1)＋3k＋1＝3，即k＝(舍去)；②当k≥2时，∀x∈[1,2]，f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝8－6(k＋1)＋3k·2＋1＝3，符合题意；③当130%，故A正确；对于B，互联网行业中仅90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%>20%，故B正确；对于C，互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故C正确；对于D，由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以无法比较，故D不正确．
2. C　【解析】 对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5，所以极差为9.5－8.5＝1，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三(1)班得分的平均数为＝9.35，高三(2)班得分的平均数为＝9.1，故C正确；对于D，两班的体育得分相差9.5－9＝0.5，而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75，两个班的劳育得分相差最大，D错误．
3. D　【解析】 结合图象易知A，B错误；2020年1～2月出口金额约为4 847.54÷(1＋1.847)≈1 702.68(千万元)，故C错误；2020年1～2月出口数量约为2 384÷(1＋1.694)≈885(万台)，所以D正确．
4. ABC　【解析】 由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一年级人数比高二年级人数多200×(45%－30%)＝30，A正确；由条形图知高一年级学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第1～100名的100人中，高一年级人数为200×45%×0.5＝45