2024南阳一中高一上学期第一次月考试题数学含解析

南阳一中2023年秋期高一年级第一次月考

数学试题

分值150分  时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题，60分）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 7 D. 16

4. 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）.

A.  B.

C.  D.

5. 不等式的解集为

A.  B.

C.  D.

6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A. 若，则函数的最大值为

B. 若，，则的最小值为

C. 若，，，则最大值为

D. 若，，，则的最小值为

8. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    )

A.  B.

C.  D.

二、多选题（每题有多个答案，每题5分，共20分.选对5分，少选3分，有错选0分）

9. 已知关于x不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（    ）

A.

B. 不等式的解集为

C. 不等式的解集为或

D.

10. 下列说法错误的是（    ）

A. 命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”

B. 已知，，则

C. “成立”是“成立”的充要条件

D. 关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是

11. 若，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 对任意集合，记，则称为集合对称差，例如，若{0，1，2}，{1，2，3}，则={0，3}，下列命题中为真命题的是（    ）

A. 若且AB=，则A=B

B. 若且AB=B，则A=

C. 存在，使得AB=

D. 若且 ABA，则

第Ⅱ卷（非选择题，90分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 集合，，若，则实数的值组成的集合为______．

14. 若“存在实数x，使得成立”为假命题，则实数a取值范围是____________．

15. 已知函数，则的解析式为_________.

16. 函数在区间的最大值是5，则实数的取值范围是_______

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分.要写出必要解题过程，规范答题）

17. 已知集合，集合，集合．

（1）若，求实数a的值；

（2）若，，求实数a的值．

18. 已知集合A={x∣2-a≤x≤2+a}，B={x∣1≤x≤6}.

（1）已知（RA) ∪(RB)={x∣x<1或x>5}，求a的值；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19. （1）已知，求函数的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

20. 关于的不等式：，

21. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下员工平均每人每年创造的利润可以提高.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

22. 已知函数为二次函数，它的最小值为1，且对任意，都有成立，又．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）在区间上．的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）求函数在区间上的最小值．

南阳一中2023年秋期高一年级第一次月考

数学试题

分值150分  时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题，60分）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在阴影部分部分区域内任取一个元素，分析与集合、、、的关系，由此可得出结论.

【详解】在阴影部分部分区域内任取一个元素，则，，即，且，，

因此，阴影部分区域所表示的集合为.

故选：C.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解分式不等式求得集合，由此求得．

【详解】由得，

解得或，

∵或，，

∴．

故选：D

3. 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 7 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.

【详解】由题设，，又，

所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，

所以集合的个数为.

故选：B

4. 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果.

【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点，

所以需满足，解得；

所以可得的取值范围是.

故选：B

5. 不等式的解集为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：因为

即，

利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，

故选C．

考点：分式不等式的解法.

6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

7. 下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A. 若，则函数的最大值为

B. 若，，则的最小值为

C. 若，，，则的最大值为

D. 若，，，则的最小值为

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式求各选项目标式的最值，注意验证等号成立的条件.

【详解】对于A，若，则函数

，

当且仅当时等号成立，故A错误；

对于B，若，，则，

所以，

当且仅当时等号成立，故B正确；

对于C，若，，，

则由可得：，即，故C错误；

对于D，若，，，则

，

当且仅当，即，时等号成立，故D错误．

故选：B．

8. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.

【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.

故选：A.

二、多选题（每题有多个答案，每题5分，共20分.选对5分，少选3分，有错选0分）

9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（    ）

A.

B. 不等式的解集为

C. 不等式的解集为或

D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据关于x的不等式的解集为或可判断，判断A;由此可得是的两根，推得，即可求解以及的解集，判断;结合题意将代入，可退的结果为负，判断D.

【详解】由于关于x的不等式的解集为或，

故，A错误；

由以上分析可知，是的两根，则，

即 ，故即，则，B错误；

不等式即，

则或，即不等式的解集为或，C正确；

由于关于x的不等式的解集为或，

故的解集为，所以时，，

即，故D错误，

故选：C

10. 下列说法错误的是（    ）

A. 命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”

B. 已知，，则

C. “成立”是“成立”的充要条件

D. 关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是

【答案】AD

【解析】

【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题，并否定结论来判断；

B.利用不等式的性质判断；

C.根据充分性和必要性的概念来判断；

D利用判别式和韦达定理来判断.

【详解】A.命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A错误；

B.，则，又，根据不等式的性质，两式相加得，可推出，B正确；

C.由得，对于，有当时，，故“成立”是“成立”充要条件，C正确；

D.关于x的方程有一个正根，一个负根，则，解得，D错误.

故选：AD.

11. 若，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.

【详解】对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;

对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;

对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;

对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;

故选:AC

【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.

12. 对任意集合，记，则称为集合的对称差，例如，若{0，1，2}，{1，2，3}，则={0，3}，下列命题中为真命题的是（    ）

A. 若且AB=，则A=B

B. 若且AB=B，则A=

C. 存在，使得AB=

D. 若且 ABA，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据对称差的定义及交、并、补运算，逐项判断即可．

【详解】对A，因为AB=，所以=且，即AB与AB是相同的，所以A=B，故本选项符合题意；

对B，因为AB=B，所以B=，所以AB，且B中的元素不能出现在AB中， 因此A=，故本选项符合题意；

对C，A=B时，AB=，==AB，故本选项符合题意；

对D，因为ABA，所以，所以BA，故本选项不符合题意．

故选：ABC．

【点睛】本题的难点是要经过转化才能得到常见的集合关系，对新定义要有准确的理解：本质上就是求两个集合交集在二者并集上的补集，可借助韦恩图辅助理解．

第Ⅱ卷（非选择题，90分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 集合，，若，则实数的值组成的集合为______．

【答案】

【解析】

【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由，通过分类讨论求解实数的值.

【详解】解得，由，∴集合，

，且，∴或或，

时，方程没有实数根，∴；

时，方程的解为，∴；

时，不成立，∴．

所以实数组成的集合为．

故答案为：

14. 若“存在实数x，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次型不等式恒成立问题，分类讨论即可求解.

【详解】由题意知：对任意实数，都有恒成立．

当时，满足题意；

当时，，解得，

则实数a的取值范围是．

故答案为：

15. 已知函数，则的解析式为_________.

【答案】

【解析】

【分析】令，则，代入可求得答案.

【详解】令，则，故.

所以.

【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常用方法，漏掉新元的范围是易错点，属于基础题.

16. 函数在区间的最大值是5，则实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】根据在区间的最大值是5，结合含绝对值不等式的解法，可得，根据x的范围，可得的范围，即可得答案.

【详解】由题意得：，

因为在区间的最大值是5，

所以，即，

所以，

所以，

又因为，所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分.要写出必要解题过程，规范答题）

17. 已知集合，集合，集合．

（1）若，求实数a的值；

（2）若，，求实数a的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；

（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．

【小问1详解】

因为集合，

集合，且，

所以，所以，即，

解得或．

当时，，，符合题意；

当时，，，不符合题意．

综上，实数a的值为．

【小问2详解】

因为，，

，且，，

所以，

所以，即，解得或．

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意．

综上，实数a的值为．

18. 已知集合A={x∣2-a≤x≤2+a}，B={x∣1≤x≤6}.

（1）已知（RA) ∪(RB)={x∣x<1或x>5}，求a的值；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）3；（2）a≤1.

【解析】

【分析】（1）由题设求RA、RB，根据并集的结果可得，即可求a值.

（2）由题设知AB，讨论A是空集或不是空集，列不等式组求a的取值范围.

【详解】（1）由题设知：RA={x∣x<2-a或x>2+a},RB={x|x<1或x>6}，又(RA)∪(RB)={x∣x<1或x>5}.

∴，可得a=3.

（2）∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，

∴AB.

若A是空集，则2+a < 2-a，解得a < 0；

若A不是空集，则或，解得0≤a≤1.

综上，a≤1.

19. （1）已知，求函数的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

【答案】（1）3；（2）.

【解析】

【分析】（1）化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；

（2）由，得到，由展开，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.

【详解】（1）因为，所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为3．

（2）由，得，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

20. 关于的不等式：，

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据题意对参数进行分类讨论，当易知解集为；当时，将不等式分解成，对不等式对应的方程根的情况再分类讨论写出不同参数范围内对应的解集即可.

【详解】当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；

当时，

方程即的根为，

且，

当或时，；当时，；当时，；

所以当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式解集为，

当时，原不等式的解集，

当时，原不等式的解集为，

综上所述：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

21. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

【答案】（1）名   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列出不等式，即可求解；

（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，可得，即，

又因为，解得，

所以最多调整名员工从事第三产业.

【小问2详解】

解：从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则，

所以，

所以，即在上恒成立，

因为，

当且仅当时，即时等号成立，所以，

又因为，所以，即实数的取值范围是.

22. 已知函数为二次函数，它的最小值为1，且对任意，都有成立，又．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）在区间上．的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）求函数在区间上的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用对称轴的最小值，设，代入坐标计算可得；

（Ⅱ）问题转化为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，求出在时的最大值即可得；

（Ⅲ）的对称轴是，按，，分类讨论可得．

【详解】（Ⅰ）由条件知该二次函数图象的对称轴为，又因为函数的最小值为1，

故可设，

将点的坐标代入得，

所以．

（Ⅱ），

由题意得对于任意恒成立，

所以对于任意恒成立，

图象的对称轴为，

则，所以．

（Ⅲ）当，即时，在上单调递减，

．

当，即时，．

当时，在上单调递增．

．

所以

【点睛】本题考查求二次函数解析式．考查二次函数的图象与性质．二次函数的解析式有三种形式：一般式，顶点式，两根式，求解析式时可根据条件选择适当的形式求解．二次函数在某个区间上的最值问题，一般要分类讨论，常常根据对称轴与区间的关系分类求解．