2023-2024学年河南省新乡二十二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

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2023-2024学年河南省新乡二十二中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．xy+1＝0
2．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
7．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
10．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　）

A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
二．填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 　 　．
12．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　．
13．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　（由小到大排列）
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是　 　三角形．
15．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 　 　W．

三．解答题（共75分）
16．（16分）用适当的方法解下列方程
（1）（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（x﹣2）＝8（2﹣x）；
（3）x2﹣3x+1＝0；
（4）y2﹣2y＝5．
17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣4），且当x＝2时，有最大值是﹣2，求该二次函数的关系式．
18．阅读与理解：
阅读材料：像x+＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：＝3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5
检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x﹣＝2．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和
B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求k，b，a的值；
（2）求△AOB的面积．

21．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本）
…
15
25
…
y（本）
…
700
500
…
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
22．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

23．已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：　 　；
②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．



参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．xy+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A、x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、xy+1＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
2．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
解：把方程x2﹣6x+5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x＝﹣5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，
配方得（x﹣3）2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ＜0时，原方程没有实数根；当Δ＝0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
解：∵抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m+4＞0，
解得m＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则Δ＞0；②抛物线与x轴无交点，则Δ＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则Δ＝0．
7．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【分析】将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解
10．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　）

A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设平行于墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
解：设平行于墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S＝×x
＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝﹣＝6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax＝﹣×52+4×5
＝﹣+20
＝．
∵9＜＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9＝﹣x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　3　．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴m＝﹣1，n＝4，
∴m+n＝﹣1+4＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
13．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y3＜y1＜y2　（由小到大排列）
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+m，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），
∵﹣3＜0＜1，
∴y3＜y1＜y2
故答案为y3＜y1＜y2．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是　直角　三角形．
【分析】由Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2）＝0，得出三边关系b2+a2＝c2，进一步利用勾股定理逆定理判定三角形的形状即可．
解：∵方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2）＝0，
∴b2+a2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理逆定理．
15．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 　220　W．

【分析】用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数性质可得答案．
解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，
把（1，165），（4，0）代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，
∵﹣55＜0，
∴当I＝2时，P取最大值220，
∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；
故答案为：220．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
三．解答题（共75分）
16．（16分）用适当的方法解下列方程
（1）（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（x﹣2）＝8（2﹣x）；
（3）x2﹣3x+1＝0；
（4）y2﹣2y＝5．
【分析】（1）先移项得到（x+3）2＝16，再把方程两边开方得到x+3＝±4，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项得到x（x﹣2）+8（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x+8＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（4）先利用配方法得到（y﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
解：（1）（x+3）2﹣16＝0，
（x+3）2＝16，
x+3＝±4，
所以x1＝1，x2＝﹣7；
（2）x（x﹣2）＝8（2﹣x），
x（x﹣2）+8（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+8）＝0，
x﹣2＝0或x+8＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣8；
（3）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（4）y2﹣2y＝5，
y2﹣2y+1＝6，
（y﹣1）2＝6，
y﹣1＝±，
所以y1＝1+，y2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣4），且当x＝2时，有最大值是﹣2，求该二次函数的关系式．
【分析】由二次函数当x＝2时，有最大值是﹣2，得到二次函数的顶点坐标为（2，﹣2），设出二次函数的顶点式方程，将（0，﹣4）代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式．
解：由二次函数当x＝2时，有最大值是﹣2，得到顶点坐标为（2，﹣2），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2（a≠0），
将x＝0，y＝﹣4代入得：﹣4＝4a﹣2，
解得：a＝﹣，
则二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2﹣2＝﹣x2+2x﹣4．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
18．阅读与理解：
阅读材料：像x+＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：＝3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5
检验所得到的两个根，只有 　x＝2　是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x﹣＝2．
【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解为x＝2；
理解应用：先移项得到x﹣2＝；再两边平方：x2﹣4x+4＝（x﹣1），然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．
解：阅读材料：
经检验x＝2是原方程的解；
故答案为x＝2；
理解应用：移项：x﹣2＝；
两边平方：x2﹣4x+4＝（x﹣1），
解这个一元二次方程：x1＝，x2＝，
经检验原无理方程的根为x＝．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和
B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求k，b，a的值；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）由点B坐标可得a的值，从而可得点A坐标，再通过待定系数法求出直线解析式．
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解．
解：（1）将（﹣2，4）代入y＝ax2得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
将（1，m）代入y＝x2得m＝1，
∴点A坐标为（1，1），
将（﹣2，4），（1，1）代入y＝kx+b得，
解得．
（2）由（1）得y＝﹣x+2，
将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，
∴点C坐标为（0，2），OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•|xB|+OC•|xA|＝+＝3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式．
21．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本）
…
15
25
…
y（本）
…
700
500
…
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可求解；
（3）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可得到结论．
解：（1）设y＝kx+b，
将（15，700）、（25，500）代入上式，得，
，
解得，
∴y＝﹣20x+1000（10≤x≤30）；
（2）依题意有：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000，
解得：x1＝20，x2＝40，
∵10≤x≤30，
∴x＝20；
答：该书的销售单价20元；
（3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下：
根据题意得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝9000，
整理得x2﹣60x+950＝0，
∵Δ＝602﹣4×1×950＝﹣200＜0，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
22．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
23．已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：　抛物线关于点（2，1）成中心对称　；
②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：，
解得，
∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；
（2）如图所示：

①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：

由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，0），（1，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．