2023-2024学年福建省福州市长乐一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市长乐一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省福州市长乐一中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝（t+2）2 D．y＝x2+
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线y＝4x2+1的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝4（x+3）2﹣1 B．y＝4（x+2）2﹣3
C．y＝4（x﹣3）2﹣2 D．y＝4（x﹣2）2﹣3
4．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（　　）
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
5．下列关于圆的说法，不正确的是（　　）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．优弧大于劣弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
6．关于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法中不正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值为4
7．已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个实根，则m的范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＜1且m≠0 D．m≤1且m≠0
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；
②3a+b＜0；
③﹣1≤a≤﹣；
④4ac﹣b2＞8a．
其中正确的结论是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度．
​

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝2．那么一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　 　．

13．若，，C（8，y3）为二次函数y＝（x﹣2）2图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．（用“＞”号表示）
14．若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一抛物线上，则此抛物线的对称轴是直线 　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝　 　．

16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D在BC边上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接DE、BE，则△BED的周长最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解方程：x2﹣6x﹣3＝0．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．

19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．

20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求m的值；
（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

（4）这个二次函数的图象经过点（﹣2，b）和（a，b）两点，写出a＝　 　，b＝　 　．

21．已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．
（1）求证：无论k取任何实数，该函数图象与x轴总有交点；
（2）若图象与x轴仅有一个交点，当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
22．小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用．（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项）
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 　 　．
（2）若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关概率．
（3）从概率的角度分析，建议小明在第 　 　道题使用“求助”．
23．某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的销售单价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A型产品的销售单价是多少元？
（3）设该工厂销售A型产品所获得的利润为w万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
25．如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．

（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；
②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝（t+2）2 D．y＝x2+
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3．将抛物线y＝4x2+1的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝4（x+3）2﹣1 B．y＝4（x+2）2﹣3
C．y＝4（x﹣3）2﹣2 D．y＝4（x﹣2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝4x2+1的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是：y＝4（x+3）2+1﹣2，即y＝4（x+3）2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（　　）
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【分析】由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
解：设黑球个数为：x个，
∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到白色球的概率为25%，
∴＝0.25，
解得：x＝11，
故黑球的个数为11个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
5．下列关于圆的说法，不正确的是（　　）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．优弧大于劣弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
【分析】根据圆的基本概念、圆的基本性质分析即可．
解：A、圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，该说法正确；
B、圆是中心对称图形，它的中心对称点为圆心，该说法正确；
C、在同圆或等圆中优弧大于劣弧，该说法不正确；
D、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，是垂径定理的内容，该说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查了圆的基本概念、圆的基本性质，解题的关键是熟记这些性质和概念．
6．关于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法中不正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值为4
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的图象开口向下，故选项A的说法正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B中的说法正确，不符合题意；
当x＞1时，y随x的增大而增小，故选项C中的说法错误，符合题意；
函数图象的顶点坐标为（1，4），则函数的最大值为4，故选项D中的说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个实根，则m的范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＜1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【分析】根据方程有两个实根，Δ≥0，和一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个实根，
∴Δ＝22﹣4m≥0，m≠0，
解得：m≤1且m≠0；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式的符号与根的个数的关系是解题的关键．注意：一元二次方程的二次项系数不为0．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠ABO＝∠BAO＝50°，从而利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理，进行计算即可解答．
解：∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；
②3a+b＜0；
③﹣1≤a≤﹣；
④4ac﹣b2＞8a．
其中正确的结论是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0．
∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；
④∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴＞2，
∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　60　度．
​

【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
解：图形可看作由一个基本图形每次旋转60°，旋转6次所组成，故最小旋转角为60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝2．那么一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　x1＝﹣1，x2＝5　．

【分析】求出A（﹣1，0）关于直线x＝2对称的点是B，两个点的横坐标即为所求．
解：∵A（﹣1，0）关于直线x＝2对称的点是B（5，0），
∴A（﹣1，0）、B（5，0）是抛物线与x轴的交点，
∴﹣1，5是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点横坐标和一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的关系，关键是利用对称性确定B点的坐标．
13．若，，C（8，y3）为二次函数y＝（x﹣2）2图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 　y1＞y3＞y2　．（用“＞”号表示）
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
解：∵二次函数y＝（x﹣2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
而到直线x＝2的距离为
到直线x＝2的距离为，
C（8，y3）到直线x＝2的距离为8﹣2＝6，
∴到直线x＝2的距离最远，到直线x＝2的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一抛物线上，则此抛物线的对称轴是直线 　x＝1　．
【分析】由两点坐标可知关于对称轴对称，那么两点中点就在对称轴上，从而可求得对称轴．
解：∵（﹣3，m）和（5，m）是抛物线上两点，
∴根据抛物线的对称性可知，对称轴，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝　28°　．

【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠B＝62°，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°，
故答案为：28°．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D在BC边上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接DE、BE，则△BED的周长最小值是 　　．

【分析】根据旋转可得AD＝AE，∠DAE＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，则DE＝AD，根据SAS可证△ACD≌△ABE，可得CD＝BE，而△BED的周长为BC+AD，当AD⊥BC时，AD最小，△BED的周长最小，然后求出AD的最小值即可解答．
解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD，
∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BC＝AB＝2，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，
∴△BED的周长为BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴当AD最小时，△BED的周长最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
过A作AM⊥BC于M，

∴，
∴AM＝，
∴AD的最小值为，
∴△BED的周长最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求△BED的周长最小值转化求AD的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解方程：x2﹣6x﹣3＝0．
【分析】解法一：在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
解法二：先找出a，b，c，求出Δ＝b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可求解．
解：
解法一：x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+32＝3+32，
（x﹣3）2＝12，
∴，
∴．
解法二：a＝1，b＝﹣6，c＝﹣3，
b2﹣4ac＝36﹣4×1×（﹣3）＝36+12＝48．
∴．
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．

【分析】（1）根据中心对称的性质找到A，B，C的对称点A1，B1，C1，顺次连接得到△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（2）根据中心对称的性质找到A，B，C的旋转后的点A2，B2，C2，顺次连接得到△A2B2C2，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

C1（4，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

C2（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．

【分析】连OC，AB垂直于弦CD，由垂径定理得到PC＝PD，得到PC＝3；由P是OB的中点，则OC＝2OP，得∠C＝30°，PC＝OP，则OP＝，即可得到OC，AB．
解：连OC，如图，
∵AB垂直于弦CD，
∴PC＝PD，
而CD＝6cm，
∴PC＝3cm，
又∵P是OB的中点，
∴OB＝2OP，
∴OC＝2OP，
∴∠C＝30°，
∴PC＝OP，则OP＝cm，
∴OC＝2OP＝2cm，
所以直径AB的长为cm．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了在直角三角形中若一直角边为斜边的一半，则这条直角边所对的角为30度以及三边的数量关系．
20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求m的值；
（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

（4）这个二次函数的图象经过点（﹣2，b）和（a，b）两点，写出a＝　4　，b＝　5　．

【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出得到抛物线解析式；
（2）把x＝1代入解析式即可求得；
（3）利用描点发法画函数图象；
（4）根据二次函数的对称性求得a，把x＝﹣2代入解析式即可求得b．
解：（1）设 y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴m＝﹣4；
（3）∵图象经过点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
如图，
；

（4）∵二次函数的图象经过点（﹣2，b）和（a，b）两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴a＝4，
把x＝﹣2代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝4+4﹣3＝5，
∴b＝5，
故答案为：4，5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知待定系数法是解题的关键．
21．已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．
（1）求证：无论k取任何实数，该函数图象与x轴总有交点；
（2）若图象与x轴仅有一个交点，当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，则kx2+（k+1）x+1＝0，说明此方程的Δ≥0即可；
（2）利用该函数的图象与x轴只有一个交点，得到Δ＝0，解关于k的方程求得k值，再利用二次函数的性质解答即可．
解：（1）令y＝0，则kx2+（k+1）x+1＝0，
∵Δ＝（k+1）2﹣4k＝k2+2k+1﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数，方程kx2+（k+1）x+1＝0总有实数根，
∴无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；
（2）∵该函数的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（k﹣1）2＝0．
解：k＝1，
∴y＝x2+2x+1＝（x+1）2．
∴该二次函数开口向上，对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣1，函数取得最小值0；当x＝1时，函数取得最大值4，
∴y的取值范围为0≤y≤4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数解析式是解题的关键．
22．小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用．（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项）
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 　　．
（2）若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关概率．
（3）从概率的角度分析，建议小明在第 　二　道题使用“求助”．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）列表法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个都正确的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解（1）根据题意得：小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）设第一题的四个选项是A，B，C，D，不妨设正确答案是C．第二题三个选项是1，2，3，正确答案是2．“求助”用在第二道题．去掉一个错误答案1．
列表如图．

2
3
A
A2
A3
B
B2
B3
C
C2√
C3
D
D2
D3
小明通关概率为 ；
（3）若“求助”用在第一道题．不妨设去掉一个错误答案A，
列表如图，

1
2
3
B
B1
B2
B3
C
C1
C2√
C3
D
D1
D2
D3
小明通关概率为 ；
∵，
∴建议小明“求助”用在第二道题．
故答案为：二．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的销售单价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A型产品的销售单价是多少元？
（3）设该工厂销售A型产品所获得的利润为w万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）利用待定系数法可以求解析式，利用题目要求可以直接写出x的范围；
（2）令总利润为182万元建立方程求解即可；
（3）建立关于w的函数解析式，利用二次函数的图象与性质即可求出当20≤x≤28时w的最大值以及x的值．
解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
∵当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30，
，
解得：，
则y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80；
∵每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，自变量x的取值范围是20≤x≤28；
（2）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，
∴y万件的利润为（x﹣20）（﹣2x+80）＝182，
∴x1＝27，x2＝33，
∵20≤x≤28，
∴x＝27，
∴每件A型产品的销售单价是27元；
（3）W＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2（x﹣30）2+200，
由于﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝30，
∵20≤x≤28，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝28时，，
∴该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元．
【点评】本题考查了一次函数、一元二次方程以及二次函数的应用——产品销售问题，解题关键是读懂题意，能正确建立方程求解，能正确列出表达式，利用二次函数的图象与性质求解．
24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值．
解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1，
则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，
∴m＝4或m＝1，
当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26；
当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α，
根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，
解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11，
∴m的值为13或﹣11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了阅读理解能力．
25．如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．

（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；
②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．

【分析】（1）根据题意用一次函数解析式求出与x轴y轴交点坐标，代入即可得到答案；
（2）①连接OD，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，易证△ODM≌△OEN，从而可以根据线段关系得到E、F点坐标，得到EF的表达式再根据二次函数最值即可求解．
解：（1）由题意可得，
当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，2），
代入y＝﹣+bx+c得，y＝﹣x+2；
（2）①连接OD，，
令y＝0，则﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（﹣4，0）D在第二象限，
∴﹣4＜m＜0，
∴S△BCD＝S△BOD+S△COD﹣S△BOC
＝×4×2
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
当m＝﹣2时，△BCD的面积最大为4，
②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，

在△ODM和△OEN中，
，
∴△ODM≌△OEN（AAS），
∴DM＝EN＝﹣m+2OM＝ON＝﹣m，
∴，
令y＝﹣m，则﹣m＝﹣2x+2x＝m+1EF＝﹣m﹣1＝﹣﹣2m+1＝﹣（m+2）2+3，
∴当m＝﹣2时EF最大为3，D点的坐标（﹣2，3）．

【点评】本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．