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人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1.(钦州中考)若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是(A)A.-10 B.10 C.-16 D.162.(怀化中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是(D)A.2 B.-2 C.4 D.-33.(凉山中考)已知x1,x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根,则x1-x1x2+x2的值是(D)A.- B. C.- D.4.(眉山中考)已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)的值是-4.5.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:(1)x1+x2;解:x1+x2=3. (2)x1x2;解:x1x2=-1. (3)x+x;解:x+x=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=11. (4)+;解:+===-3. (5)(x1-1)(x2-1);解:(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-1-3+1=-3. (6)+.解:+===-11. 知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6.(雅安中考)已知x1,x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根,且x1x2=-3,则k的值为(B)A.1 B.2C.3 D.47.(新疆中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是(A)A.-3 B.-2 C.3 D.68.已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p,q的值分别为4,3.9.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.(1)求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程的两根分别为x1,x2,且满足+=-,求m的值.解:(1)证明:∵a=1,b=4m+1,c=2m-1,∴Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5.∵16m2≥0,∴Δ>0.∴不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.(2)根据题意,得x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1,∵+=-,∴=-.∴=-,∴m=-. 易错点 忽视隐含条件10.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两个根互为倒数,求a的值.解:因为方程的两根互为倒数,所以两根的积为1.由根与系数的关系,得a2=1.解得a=±1.当a=1时,原方程化为x2+1=0,根的判别式Δ<0,此方程没有实数根,所以舍去a=1.所以a=-1.02 中档题11.(易错题)下列一元二次方程两实数根和为-4的是(D)A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=012.(烟台中考)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为(D)A.-1或2 B.1或-2C.-2 D.113.(达州中考)设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2 018=0的两个实数根,则m2+3m+n=2__016.14.在解某个关于x的一元二次方程时,甲看错了一次项的系数,得出的两个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两个根为8,2,则这个方程为x2-10x+9=0.15.已知实数m,n满足3m2+6m-5=0,3n2+6n-5=0,且m≠n,则+=-.16.(十堰中考)已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x+x=16+x1x2,求实数k的值.解:(1)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤.∴实数k的取值范围为k≤.(2)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.∵x+x=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).∴实数k的值为-2. 17.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0.(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根;(2)当Rt△ABC的斜边长a为,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时,求△ABC的周长.解:(1)证明:Δ=[-(2k+1)]2-4(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4.∵(2k-3)2≥0,∴(2k-3)2+4>0,即Δ>0,∴无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)∵b,c是方程x2-(2k+1)x+4k-3=0的两个根,∴b+c=2k+1,bc=4k-3.∵a2=b2+c2,a=,∴k2-k-6=0.∴k1=3,k2=-2.∵b,c均为正数,∴4k-3>0.∴k=3.此时原方程为x2-7x+9=0,∴b+c=7.∴△ABC的周长为7+. 03 综合题18.(换元思想)阅读材料:材料1 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-,x1x2=.材料2 已知实数m、n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,求+的值.解:由题知m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,根据材料1,得m+n=1,mn=-1.∴+====-3.根据上述材料解决下面的问题:(1)一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1,x2,则x1+x2=4,x1x2=-3;(2)已知实数m,n满足2m2-2m-1=0,2n2-2n-1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值;(3)已知实数p,q满足p2=3p+2,2q2=3q+1,且p≠2q,求p2+4q2的值.解:(2)∵m,n满足2m2-2m-1=0,2n2-2n-1=0,∴m,n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数根.∴m+n=1,mn=-.∴m2n+mn2=mn(m+n)=-×1=-.(3)设t=2q,代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2,则p与t(即2q)为方程x2-3x-2=0的两实数根,∴p+2q=3,p·2q=-2,∴p2+4q2=(p+2q)2-2p·2q=32-2×(-2)=13.
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