河南省郑州市第七初级中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份河南省郑州市第七初级中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州七中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）下列各式正确的是（　　）
A．＝±2 B．±＝3 C． D．
3．（3分）如图，在数轴上作3×3正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形边长OA为半径的圆弧交数轴正半轴于点B，则点B在数轴上表示的数为（　　）

A．2.5 B． C． D．3
4．（3分）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
6．（3分）如图，输入m＝2，则输出的数为（　　）


A．8 B．16 C．32 D．64
7．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，，．则∠ABC的度数为（　　）°

A．120 B．135 C．150 D．105
10．（3分）已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（　　）

A．cm B．cm C．2ncm D．cm
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请写一个小于零的无理数 　 　（写出一个即可）．
12．（3分）计算：+＝　 　．
13．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是 　 　．

14．（3分）如图是某小区健身中心的平面图，活动区是面积为200m2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积是 　 　平方米．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当t＝　 　s时，△ABP为直角三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（6分）计算：．
17．（8分）如图是单位长度为1的正方形网格．

（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
18．（10分）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB＝BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
19．（10分）在算式“”中，“〇”表示被开方数，“□”表示“+”“﹣”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“﹣”时，运算结果为，求“〇”表示的数．
（2）如果“〇”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“□”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
20．（10分）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

21．（10分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
22．（10分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）

23．（11分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1，MN＝2，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．


2023-2024学年河南省郑州七中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜＜＜＜，
即＜2＜＜3＜＜，
故选：B．
2．（3分）下列各式正确的是（　　）
A．＝±2 B．±＝3 C． D．
【解答】解：A．＝3，故该项选项不正确，不符合题意；
B．±＝±3，故该项选项不正确，不符合题意；
C.＝3，故该项选项不正确，不符合题意；
D.＝﹣4，故该项选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，在数轴上作3×3正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形边长OA为半径的圆弧交数轴正半轴于点B，则点B在数轴上表示的数为（　　）

A．2.5 B． C． D．3
【解答】解：由勾股定理得，OA＝＝，
∵以原点O为圆心，阴影正方形边长OA为半径的圆弧交数轴正半轴于点B，
∴OB＝OA＝，
∴点B在数轴上表示的数为，
故选：C．
4．（3分）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接AB，BD，AC，AD，

由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，AC2＝22+42＝20，BD2＝32+42＝25，AD2＝CD2＝12+32＝10，
∵BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形，
即直角三角形有2个，
故选：B．
5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
6．（3分）如图，输入m＝2，则输出的数为（　　）


A．8 B．16 C．32 D．64
【解答】解：∵m＝2时，m2＝（2）2＝8＜10，
∴＝4，再输入4，
42＝16＞10，
∴输出的数是16．
故选：B．
7．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A：由勾股定理得：S＝4+9＝13，故A不符合题意；
B：S＝9﹣4＝5，故B符合题意；
C：S＝4+3＝7，故C不符合题意；
D：S＝4﹣3＝1，故D不符合题意；
故选：B．
8．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．

9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，，．则∠ABC的度数为（　　）°

A．120 B．135 C．150 D．105
【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，AD＝AB＝2，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，，
∵，，
∴，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°+90°＝135°，
即∠ABC的度数是135°．
故选：B．

10．（3分）已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（　　）

A．cm B．cm C．2ncm D．cm
【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍，
第一个等腰三角形的斜边为1＝（）0
第二个△（也就是△ACD）的斜边长：×＝（）1；
第三个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：2×＝（）2；
…
第n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，其斜边长为：（）n﹣1．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请写一个小于零的无理数 　　（写出一个即可）．
【解答】解：小于零的无理数可以为：﹣等，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）计算：+＝　2　．
【解答】解：+＝﹣2+4＝2．
故答案为：2
13．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是 　　．

【解答】解：根据已知，得到大正方形的面积为5，
所以大正方形的边长是．
故答案为：．
14．（3分）如图是某小区健身中心的平面图，活动区是面积为200m2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积是 　92π　平方米．

【解答】解：长方形ABCD的面积为200平方米，且AB＝20米，
则AD＝200÷10＝10米，
在Rt△ADE中，AD为斜边，AD＝10米，AE＝8米，
∴（米），
∴半圆形餐饮区的面积为（平方米），
故答案为：．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当t＝　2或　s时，△ABP为直角三角形．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
由题意知BP＝2tcm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即2t＝4，t＝2；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，
解得：t＝．
综上所述，当t＝2或时，△ABP为直角三角形．
故答案为：2或．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（6分）计算：．
【解答】解：
＝+2﹣﹣1﹣
＝1﹣．
17．（8分）如图是单位长度为1的正方形网格．

（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
【解答】解：（1）如图1所示，AB2＝12+32＝10，

AB即为所求；
（2）如图2所示，正方形的边长为，则面积为．

18．（10分）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB＝BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
【解答】解：（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC'1D1或ACC1A1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'1或AC1；
（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'1D1爬过的路径AC'1的长是．
蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是．
l1＞l2，
故最短路径的长是．
∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为89．

19．（10分）在算式“”中，“〇”表示被开方数，“□”表示“+”“﹣”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“﹣”时，运算结果为，求“〇”表示的数．
（2）如果“〇”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“□”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【解答】解：（1）设“〇”开平方表示的数为x，则，
∴，
∴“〇”表示的数为18；
（2）依题意，原式为3+，
当“□”表示“+”时，，
当“□”表示“﹣”时，，
当“□”表示“×”时，，
当“□”表示“÷”时，，
∵，，
∴
∴当“□”表示“÷”时，算式的结果最大．
20．（10分）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

【解答】解：（1）连接AC，
技术人员测量的是A，C两点之间的距离，
确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；

（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．

21．（10分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
22．（10分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）

【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2+CB2＝242+182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝CE•AB，
∴AC•BC＝CE•AB，即24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14，
答：点C到AB的距离约为14cm．

23．（11分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1，MN＝2，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．

【解答】解：（1）N是线段AB的勾股分割点，
理由如下：
∵AM＝1，MN＝2，，
∴AM2＝1，MN2＝4，BN2＝3，
∴AM2+BN2＝MN2，
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴根据勾股分割点定义，M，N是线段AB的勾股分割点；
（2）∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：
①MN为斜边时，有AM2+BN2＝MN2，
设BN＝x，则52+x2＝（7﹣x）2，
∴；
②BN为斜边时，有BN2＝AM2+MN2，
设BN＝x，则52+（7﹣x）2＝x2，
∴；
综上所述，BN的长为或．