江苏省苏州市常熟市梅李中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省苏州市常熟市梅李中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市梅李中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
3．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
4．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
5．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
6．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则+的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
7．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简：﹣＝　 　．
12．分解因式：a2﹣9＝　 　．
13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　 　．
14．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为　 　．

15．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是　 　．

16．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：．
18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
22．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先估算出的大小，进而估算+1的范围．
解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1的值在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．
解：∵不等式组无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
3．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法代入求解即可．
如果a与1互为相反数，则a＝﹣1，则|a+2|等于|﹣1+2|＝1
解：如果a与1互为相反数，则a＝﹣1，则|a+2|等于|﹣1+2|＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了互为相反数的意义，互为相反数的两个数的绝对值相等，符号相反；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
4．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
【分析】解法一：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣早晨下雨＝早晨晴天；②总天数﹣晚上下雨＝晚上晴天；列方程组解出即可．
解法二：列三元一次方程组，解出即可．
解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：
①+②得：2y＝22
y＝11
所以一共有11天，
解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得：，
解得：，
所以一共有11天，
故选：B．

【点评】本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：（9+6+7）÷2＝11．
5．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则+的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到+＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝
7．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】方法一：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，求出AO＝AC＝2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．方法二：利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，
设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可．
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简：﹣＝　　．
【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
解：﹣＝2＝．
故填：．
【点评】此题考查了二次根式的加减，关键是把二次根式化简，再进行合并．
12．分解因式：a2﹣9＝　（a+3）（a﹣3）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　八　．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为　2　．

【分析】作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，
∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．
15．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是　40°　．

【分析】根据外角的概念求出∠ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°计算即可．
解：∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．
16．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞5　．

【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
解：抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．
故答案为x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）
4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），
整理得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分）
所以，原方程的解为x＝1．（1分）
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，
解得：x＝﹣，a＝，
即a＝，方程的另一个根为﹣；

（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，要记牢公式，灵活运用．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）当AD＝AE时，则∠1＝∠AED＝45°，得到∠DAE＝90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA＝ED时，如图1，则∠EAD＝∠1＝45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD＝1；当DA＝DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC＝CA＝，于是有BD＝BC﹣DC＝2﹣．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，
∴∠1＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，
∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝1；
当DA＝DE时，如图2，
∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝2，
∴AB＝AC＝BC＝，
∴DC＝CA＝，
∴BD＝BC﹣DC＝2﹣，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　108　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）1600×＝928（名），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．