山西省太原市第三十七中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份山西省太原市第三十七中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山西省太原三十七中九年级（上）段考数学试卷（10月份）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．（3分）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝10，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．16 B． C．20 D．
4．（3分）观察下面的表格，一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.8
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）

A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（3分）有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
9．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
10．（3分）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　）

A． B．2 C．2 D．1
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（3分）将一元二次方程x（x+2）＝5（x﹣2）化为一般形式是 　 　．
12．（3分）如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ADE，则∠AEB的度数是 　 　．

13．（3分）足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界最具影响力的单项体育运动，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如表：
抽取的足球数n（个）
100
200
400
600
1000
1500
2000
优等品的频数m（个）
93
192
380
561
938
1413
1878
优等品的频率
0.93
0.96
0.95
0.935
0.938
0.942
0.939
据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是　 　（结果精确到0.01）．
14．（3分）如图，有一块长32cm，宽24cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为xcm，则根据题意，可得方程：　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为　 　．

三、解答题：（共55分）
16．（10分）解方程：
（1）5x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0．
17．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．

18．（6分）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
19．（7分）在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听写）的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC，DC，BC于点E，F，G，连接DE，DG，求证：四边形DGCE是菱形．

21．（8分）口罩在预防流感时起着非常重要的防护作用，主要是保护呼吸道，预防呼吸道飞沫的传播，减少病毒或细菌的侵袭，预防感染的作用，同时还可以预防有害物质的入侵，极大地减少交叉感染的概率，某药店新购进一批口罩进行销售，平均每天可售出500个，每个盈利0.6元，为了让利于民，药店决定采取适当的降价措施，根据以往的经验，如果每个口罩的售价每降低0.1元，那么平均每天可多售出100个，该药店要想通过销售这种口罩，每天盈利达到240元，则每个口罩的售价应降价多少元？
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，P是线段AO上任一点（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E．
（1）∠PCE的度数为 　 　．
（2）求证：PB＝PE．
（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．


2023-2024学年山西省太原三十七中九年级（上）段考数学试卷（10月份）
（参考答案）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【解答】解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
故选：C．
2．（3分）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率＝＝．
故选：A．
3．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝10，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．16 B． C．20 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝5，
在Rt△ABO中，AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，
故选：B．
4．（3分）观察下面的表格，一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【解答】解：因为x＝1.8时，x2﹣x＝1.44与1.4最接近，
所以一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是1.8．
故选：D．
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）

A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：C．
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：根据题意Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（3分）有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，
则记录的两个数字乘积是正数的概率是；
故选：D．
8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝288，
（1+x）2＝1.44，
x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：平均每月的增长率为20%．
故选：C．
9．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
10．（3分）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　）

A． B．2 C．2 D．1
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG＝8﹣4＝4，
∴GT＝×4＝2．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（3分）将一元二次方程x（x+2）＝5（x﹣2）化为一般形式是 　x2﹣3x﹣10＝0　．
【解答】解：x（x+2）＝5（x﹣2），
x2+2x＝5x﹣10，
x2﹣3x﹣10＝0，
故答案为：x2﹣3x﹣10＝0，
12．（3分）如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ADE，则∠AEB的度数是 　75°　．

【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵等边△AED，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．
故答案为：75°．
13．（3分）足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界最具影响力的单项体育运动，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如表：
抽取的足球数n（个）
100
200
400
600
1000
1500
2000
优等品的频数m（个）
93
192
380
561
938
1413
1878
优等品的频率
0.93
0.96
0.95
0.935
0.938
0.942
0.939
据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是　0.94　（结果精确到0.01）．
【解答】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.94．
故答案为：0.94．
14．（3分）如图，有一块长32cm，宽24cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为xcm，则根据题意，可得方程：　（32﹣2x）（24﹣2x）＝32×24×　．

【解答】解：设盒子的高为xcm，则盒子底面的长为（32﹣2x）cm，宽为（24﹣2x）cm，
由题意得：（32﹣2x）（24﹣2x）＝32×24×，
故答案为：（32﹣2x）（24﹣2x）＝32×24×．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为　　．

【解答】解：过E作EF⊥AC，交AC于F，
∵矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵△AEF是△ABE沿直线AE折叠而成，
∴AF＝AB＝1，BE＝EF，
∴CF＝﹣1，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝x，在Rt△EFC中，
CF2+EF2＝CE2，即（﹣1）2+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝．
故答案为：．

三、解答题：（共55分）
16．（10分）解方程：
（1）5x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0．
【解答】解：（1）5x2+2x﹣1＝0，
这里a＝5，b＝2，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0，
x（x﹣3）+4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+4）＝0，
x﹣3＝0或x+4＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
17．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．

【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形．
18．（6分）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：＝28．
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），
答：比赛组织者应邀请8队参赛．
19．（7分）在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听写）的概率．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果有2种，
∴小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率为＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC，DC，BC于点E，F，G，连接DE，DG，求证：四边形DGCE是菱形．

【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD，
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，
∴CE∥DG，DE∥GC，
∴四边形DECG是平行四边形，
又∵DE＝EC，
∴平行四边形DGCE是菱形．
21．（8分）口罩在预防流感时起着非常重要的防护作用，主要是保护呼吸道，预防呼吸道飞沫的传播，减少病毒或细菌的侵袭，预防感染的作用，同时还可以预防有害物质的入侵，极大地减少交叉感染的概率，某药店新购进一批口罩进行销售，平均每天可售出500个，每个盈利0.6元，为了让利于民，药店决定采取适当的降价措施，根据以往的经验，如果每个口罩的售价每降低0.1元，那么平均每天可多售出100个，该药店要想通过销售这种口罩，每天盈利达到240元，则每个口罩的售价应降价多少元？
【解答】解：设每个口罩可降价x元由题意，
得 （0.6﹣x）（500+100×）＝240，
整理得：（0.6﹣x）（500+1000x）＝240，
解得x1＝0.3，x2＝﹣0.2，
x＝﹣0.2 （不合题意，舍去）．
故每个口罩可降价0.3元．
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，P是线段AO上任一点（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E．
（1）∠PCE的度数为 　45°　．
（2）求证：PB＝PE．
（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∵P是线段AO上任一点，点E在CD边上，
∴∠PCE＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：如图1，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N，

∵PB⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠MPB+∠EPN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90°，
∵∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠EPN＝∠MBP，
在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN＝CN，
∵∠BMP＝∠PNE＝∠ABC＝90°，
∴四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB＝PE；
（3）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，PF＝2，
理由：如图2，连接OB，

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠EFP＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPO+∠OPE＝90°，
∴∠OBP＝∠OPE，
由（1）得PB＝PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF＝OB，
∵AB＝4，△ABO是等腰直角三角形，
∴OB＝＝2，
∴PF的长为定值2．