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2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1
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这是一份2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1，共36页。试卷主要包含了个小正方形，在横线上填上合适的数等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1
一．选择题（共5小题）
1．（2004•丹阳市）如图是由4个完全相同的小正方体堆成的一个立体图形，从上面看这个图形，可以看到（ ）个小正方形．
A．2 B．3
C．4 D．以上答案都不正确
2．（2021春•郴州期末）要使1810是3的倍数，至少要加上（ ）
A．1 B．2 C．3
3．（2021春•天门期中）有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15 B．30 C．60
4．（2021秋•新田县期末）两个同分子分数比较大小，（ ）
A．一样大 B．分母大的分数大
C．分母小的分数大
5．（2021秋•茶陵县期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
6．（2022春•临湘市期中）54÷6＝9中， 是 的倍数， 是 的因数。
7．（2021春•湖南期中）20的因数有 个，其中最大的是 ，最小的是 ，20的倍数有 个，其中最小的是 。
8．（2022春•临湘市期中）在横线上填上合适的数。
43200立方厘米＝ 升
60L30mL＝ dm3
5.03m3＝ m3 dm3
3.58立方分米＝ 毫升
9．（2022春•通道县期中）一个正方体的表面积是216dm²，它的体积是 dm³。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深 cm。
10．（2022春•冷水滩区校级期中）一个正方体棱长总和是48厘米，每一条棱长是 厘米，它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
11．（2021秋•永顺县期末）把811米长的绳子平均分成4段，每段长 米，每段占411米的 ，每段是1米的 。
12．（2021春•茶陵县期末）如图的图形中有 条对称轴。
13．（2019•衡阳模拟）2个17加上4个17，得 个17，就是 ．
14．（2019•长沙）某人骑车沿直线旅行，先前进了akm休息了一段时间，又原路返回了bkm（b＜a）．再前进ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 ．
15．（2021春•娄星区期末）有12瓶钙片，其中一瓶少了3颗，用一架没有砝码的天平去称，至少要称 次才能保证找出少了的这瓶。
三．判断题（共5小题）
16．（2021秋•新丰县期末）一个数的倍数的个数是有限的，因数的个数是无限的． （判断对错）
17．（2022•南沙区校级自主招生）自然数中，不是质数，就是合数． （判断对错）
18．（2021春•娄星区期末）因为3.5÷0.7＝5，所以3.5是0.7的倍数。 （判断对错）
19．（2021秋•望城区期末）如图中阴影部分占整个图形的23。 （判断对错）
20．（2021秋•隆回县期末）把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25。 （判断对错）
四．计算题（共2小题）
21．（2020•衡阳）计算下面图形的表面积和体积.
22．（2021春•华容县期末）直接写出得数。
23+79=
78−58+58=
116−16=
310+710=
67−56=
18−19=
7−53=
38+0.125=
五．应用题（共4小题）
23．（2022春•汉寿县期中）一个新建的游泳池长60m，宽25m，深2.5m。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？
24．（2021秋•华容县期末）李老师在商场买了一个礼品盒，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员为他用彩带把礼品盒扎起来，打结处彩带长2分米，求彩带的长度？
25．（2022春•临湘市期中）一个水族箱长10m，宽3m，高4m，一条鲨鱼放入水族箱后，水面由3m升至3.12m，鲨鱼的体积有多大？
26．（2021秋•炎陵县期末）一堆沙子，甲车运走了全部的29，乙车运走了全部的39。甲、乙两车共运走了全部几分之几？还剩几分之几没有运完？
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•通道县期中）把下面的几何体从正面、上面、左面观察到的图形在方格纸上画出来。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2004•丹阳市）如图是由4个完全相同的小正方体堆成的一个立体图形，从上面看这个图形，可以看到（ ）个小正方形．
A．2 B．3
C．4 D．以上答案都不正确
【考点】三视图与展开图．
【专题】压轴题．
【分析】从上面看所得到的图形是俯视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可．
【解答】解：从上面看下来，左面一列是2个正方形，右面一列是1个正方形．
可以看到这个立体图形的2+1＝3个面．
故选：B。
【点评】此题主要考查了三种视图中的俯视图，比较简单．
2．（2021春•郴州期末）要使1810是3的倍数，至少要加上（ ）
A．1 B．2 C．3
【考点】3的倍数特征．
【专题】数感．
【分析】根据3的倍数特征：如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；
先计算出（1+8+1+0），再进行解答。
【解答】解：1+8+1+0
＝9+1+0
＝10
10+2＝12
12是3的倍数。
答：要使1810是3的倍数，至少要加上2。
故选：B。
【点评】本题考查了3的倍数特征，要熟练掌握。
3．（2021春•天门期中）有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15 B．30 C．60
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除．
【分析】由题意知：30的最小倍数是30×1＝30，最大约数是30，因为最大约数和最小倍数相等，故这个数为30．
【解答】解：有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数就是30本身；
故选：B．
【点评】此题应结合倍数和因数的意义进行解答，即可得出结论．
4．（2021秋•新田县期末）两个同分子分数比较大小，（ ）
A．一样大 B．分母大的分数大
C．分母小的分数大
【考点】分数大小的比较．
【专题】推理能力．
【分析】分子相同的两个分数比较大小，分母小的这个分数就大，据此解答。
【解答】解：因分子相同的两个分数比较大小，分母小的这个分数就大。
故选：C。
【点评】本题考查了学生对同分子分数比较大小方法的掌握情况。
5．（2021秋•茶陵县期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的条数及位置。
【解答】解：上列图形中，对称轴条数最多的是，有5条；有2条对称轴；长方形有2条对称轴；有2条对称轴；有3条对称轴。
故选：D。
【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活应用。
二．填空题（共10小题）
6．（2022春•临湘市期中）54÷6＝9中， 54 是 6或9 的倍数， 6或9 是 54 的因数。
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：54÷6＝9中，54是6或9的倍数，6或9是54的因数。
故答案为：54，6或9，6或9，54。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
7．（2021春•湖南期中）20的因数有 6 个，其中最大的是 20 ，最小的是 1 ，20的倍数有 无数 个，其中最小的是 20 。
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数感．
【分析】找配对的方法找出20的因数：20＝1×20＝2×10＝4×5，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身；找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6……，一个数的倍数的个数是无限的。
【解答】解：20的因数有 1，2，4，5，10，20，共6个，其中最大的是20，最小的是 1，20的倍数有无数个，其中最小的是20。
故答案为：6，20，1，无数，20。
【点评】本题考查了求一个数的因数和倍数的方法。
8．（2022春•临湘市期中）在横线上填上合适的数。
43200立方厘米＝ 43.2 升
60L30mL＝ 60.03 dm3
5.03m3＝ 5 m3 30 dm3
3.58立方分米＝ 3580 毫升
【考点】体积、容积进率及单位换算．
【专题】数感．
【分析】低级单位立方分米化高级单位升除以进率1000。
把30毫升除以进率1000化成0.03升再加60升是60.03升，立方分米与升是同一级单位二者互化数值不变。
5.03立方米看作5立方米与0.03立方米之和，把0.03立方米乘进率1000化成30立方分米。
高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000。
【解答】解：
43200立方厘米＝43.2升
60L30mL＝60.03dm3
5.03m3＝5m330dm3
3.58立方分米＝3580毫升
故答案为：43.2；60.03；5，30；3580。
【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。
9．（2022春•通道县期中）一个正方体的表面积是216dm²，它的体积是 216 dm³。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深 28 cm。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，已知正方体的表面积可以求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积；根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式求出水深。
【解答】解：设正方体的棱长为a分米，
6a2＝216
a2＝36
a＝6
6×6×6
＝36×6
＝216（立方分米）
28升＝28000立方厘米
28000÷（40×25）
＝28000÷1000
＝28（厘米）
答：正方体的体积是216立方分米，这个水槽水深28厘米。
故答案为：216，28。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。
10．（2022春•冷水滩区校级期中）一个正方体棱长总和是48厘米，每一条棱长是 4 厘米，它的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】首先用正方体的棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：48÷12＝4（厘米）
4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：每一条棱长是4厘米，它的表面积是9平方厘米，体积是64立方厘米。
故答案为：4，96，64。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2021秋•永顺县期末）把811米长的绳子平均分成4段，每段长 211 米，每段占411米的 12 ，每段是1米的 211 。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把811米长的绳子平均分成4段，求每段长，用这根绳子的长度除以4；求每段是411的几分之几，用每段长除以411米；求每段是1米的几分之几，用每段长除以1米。
通前面计算，每段是211米，相当于把1米平均分成11份，每分是111米，211表示其中2份，即1米的211
【解答】解：811÷4=211（米）
211÷411=12
211÷1=211
答：每段长211米，每段占411米的12，每段是1米的211。
故答案为：211，12，211。
【点评】把一个数平均分成若干份，求每份是多少，用这个数除以另一个数；求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
12．（2021春•茶陵县期末）如图的图形中有 2 条对称轴。
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】依据轴对称图形的定义及特征即可作答：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴。
【解答】解：如图的图形中有2条对称轴。
故答案为：2。
【点评】此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数，熟记常见轴对称图形的对称轴条数即可解答。
13．（2019•衡阳模拟）2个17加上4个17，得 6 个17，就是 67 ．
【考点】分数的加法和减法．
【分析】2个17加上4个17即为2+4＝6个17，根据分数乘法的意义可知，6个17即17×6=67．
【解答】解：2+4＝6（个），
17×6=67．
即2个17加上4个17，得6个17，就是67．
故答案为：6，67．
【点评】完成本题要注意分数乘整数与整数乘分数的意义是不同的，分数乘整数是求几个相同加数和的简便运算；整数乘分数是求一个数的几分之几是多少．
14．（2019•长沙）某人骑车沿直线旅行，先前进了akm休息了一段时间，又原路返回了bkm（b＜a）．再前进ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 第二个 ．
【考点】单式折线统计图．
【分析】应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回bkm，”要通过图象反映出来．
【解答】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除第一个；
又按原路返回bkm，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除第四个；
C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除第三个；
故答案为：第二个．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．
15．（2021春•娄星区期末）有12瓶钙片，其中一瓶少了3颗，用一架没有砝码的天平去称，至少要称 3 次才能保证找出少了的这瓶。
【考点】找次品．
【专题】推理能力；应用意识．
【分析】第一次：把12瓶钙片，平均分成2份，每份6瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；第二次：把天平秤较高端的6瓶钙片平均分成2份，每份3瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；第三次：从天平秤较高的3瓶钙片中，任取2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶钙片即为质量较轻的，若不平衡，天平秤较高端的那瓶钙片即为质量较轻的那瓶药片；据此即可解答。
【解答】解：第一次：把12瓶钙片，平均分成2份，每份6瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；
第二次：把天平秤较高端的6瓶钙片平均分成2份，每份3瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；
第三次：从天平秤较高的3瓶钙片中，任取2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶钙片即为质量较轻的，若不平衡，天平秤较高端的那瓶钙片即为质量较轻的那瓶药片。
答：至少3次就能保证找出少了3颗的那一瓶。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查找次品，利用天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取钙片的瓶数。
三．判断题（共5小题）
16．（2021秋•新丰县期末）一个数的倍数的个数是有限的，因数的个数是无限的． × （判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的； 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的；据此判断即可．
【解答】解：一个数的倍数是无限的，而因数的个数是有限的；
所以原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的概念及意义．
17．（2022•南沙区校级自主招生）自然数中，不是质数，就是合数． × （判断对错）
【考点】合数与质数．
【专题】数的整除．
【分析】举出一个反例，自然数（0除外）中有既不是质数也不是合数的数，进行证明．
【解答】解：自然数1既不是质数也不是合数．
所以自然数（0除外）不是质数，就是合数的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查质数合数的意义，注意自然数1既不是质数也不是合数．
18．（2021春•娄星区期末）因为3.5÷0.7＝5，所以3.5是0.7的倍数。 × （判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】常规题型；模型思想．
【分析】假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称n就是m的倍数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。
【解答】解：因为3.5和0.7是小数，而不是整数，因此此说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了倍数的意义，只有在非0的整数中才研究因数和倍数的意义。
19．（2021秋•望城区期末）如图中阴影部分占整个图形的23。 × （判断对错）
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把一个三角形的面积看作一个整体，把它平均分成3份，每份是它的13，23表示其中2份涂色。
【解答】解：如图：
把一个三角形分成大小不同的3份，其中2份涂阴影，阴影部分不占整个图形的23。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题是考查分数的意义。把一个整体平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
20．（2021秋•隆回县期末）把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25。 √ （判断对错）
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感；应用意识．
【分析】把一个苹果平均分成了5块，每块是15，小明吃了2块，就是25，据此解答。
【解答】解：2÷5=25
把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了分数的意义，关键是弄清求的是具体的数量还是分率。
四．计算题（共2小题）
21．（2020•衡阳）计算下面图形的表面积和体积.
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】①根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
②根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：①（4×2+4×3+2×3）×2
＝（8+12+6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
4×2×3＝24（立方厘米）
答：它的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。
②3×3×6＝54（平方分米）
3×3×3＝27（立方分米）
答：它的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。
【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．（2021春•华容县期末）直接写出得数。
23+79=
78−58+58=
116−16=
310+710=
67−56=
18−19=
7−53=
38+0.125=
【考点】分数的加法和减法．
【专题】解题思想方法；运算能力．
【分析】同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变；异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算；有小数的先把小数化成分数再进行计算。
【解答】解：
23+79=139
78−58+58=78
116−16=53
310+710=1
67−56=142
18−19=172
7−53=513
38+0.125=12
故答案为：139，78，53，1，142，172，513，12。
【点评】此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性。
五．应用题（共4小题）
23．（2022春•汉寿县期中）一个新建的游泳池长60m，宽25m，深2.5m。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】由于游泳池无盖，所以根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。
【解答】解：60×25+60×2.5×2+25×2.5×2
＝1500+300+125
＝1925（平方米）
答：一共需要贴1925平方米的瓷砖。
【点评】此题主要考查无盖长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．（2021秋•华容县期末）李老师在商场买了一个礼品盒，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员为他用彩带把礼品盒扎起来，打结处彩带长2分米，求彩带的长度？
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高再加上打结用的2分米，据此解答。
【解答】解：4×2+3×2+2.5×4+2
＝8+6+10+2
＝26（分米）
答：彩带的长度是26分米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和。
25．（2022春•临湘市期中）一个水族箱长10m，宽3m，高4m，一条鲨鱼放入水族箱后，水面由3m升至3.12m，鲨鱼的体积有多大？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把这条鱼放入水箱中，上升部分水的体积等于这条鱼的体积．根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．
【解答】解：10×3×（3.12﹣3）
＝30×0.12
＝3.6（m3）
答：鲨鱼的体积是3.6立方米．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
26．（2021秋•炎陵县期末）一堆沙子，甲车运走了全部的29，乙车运走了全部的39。甲、乙两车共运走了全部几分之几？还剩几分之几没有运完？
【考点】同分母分数加减法．
【专题】数据分析观念．
【分析】甲、乙两车共运走了全部几分之几就是甲运走的+乙运走的即可解答。
【解答】解：29+39=59
1−59=49
答：甲、乙两车共运走了全部59；还剩49没有运完。
【点评】本题主要考查同分母分数加减法。
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•通道县期中）把下面的几何体从正面、上面、左面观察到的图形在方格纸上画出来。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【分析】这个立体图形由6个相同的小正主体组成。从前面能看到4个相同的正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到5个相同的正方形，分三层，上层3个，中层、下层各1个，右齐；从左面能看到4个相同的正方形，分两层，上层1个，下层3个，左齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
考点卡片
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数． × ．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小． × ．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是 1：2＝3：6 ．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数． × ．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是 120 ．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． × ．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
5．3的倍数特征
3的倍数特征
6．分数的意义和读写
【知识点归纳】＜BR＞分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．＜BR＞在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．＜BR＞分数的分类：＜BR＞（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．＜BR＞（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．＜BR＞带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）＜BR＞A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长＜BR＞分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．＜BR＞解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3−34=214（米）；＜BR＞第二根剪去34，剩下的长度是3×（1−34）=34（米）．＜BR＞所以第一根剩下的部分长．＜BR＞故选：A．＜BR＞点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
7．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
8．同分母分数加减法
同分母分数加减法
9．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6−13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）−38
解：（34+56）−38，
=34−38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
10．找次品
【知识点归纳】
次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．
方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品．
【命题方向】
常考题型：
例：有15盒饼干，有14盒重量达标，其中有1盒少10克的混在里面．现在用天平称，至少称几次才能把不合格的那一盒找出来？
分析：第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干，据此即可解答．
解：至少称三次才能把不合格的那一盒找出来，
第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干．
点评：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取饼干的盒数．
11．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
12．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
13．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
14．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
15．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
16．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
17．确定轴对称图形的对称轴条数及位置
【知识点归纳】
1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．
2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．
3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．
【命题方向】
常考题型：
例：下列图形中，（ ）的对称轴最多．
A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形
分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择．
解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，
两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有3条对称轴；
（3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰梯形是轴对称图形，
上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有1条对称轴；
（4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，
任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
所以说圆的对称轴最多．
故选：D．
点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征．
例2：下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形．
解：A：根据它的组合特点，它有4条对称轴；
B：这是一个正八边形，有8条对称轴；
C：这个组合图形有3条对称轴；
D：这个图形有5条对称轴；
故选：B．
点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴．
18．单式折线统计图
【知识点归纳】
1．折线统计图：
用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化．容易看出数量的增减变化情况．
2．折现统计图制作步骤：
（1）标题：根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；
（2）画出横、纵轴：先画纵轴，后画横轴，横、纵轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量；
（3）描点、连线：根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 72 千米．
分析：从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5＝9（分钟），根据“速度×时间＝路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度＝路程÷时间”即可得出答案．
解：48×（4+5）÷（19﹣13），
＝48×9÷6，
＝72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
故答案为：72．
点评：此题首先根据问题从图中找出所需要的信息，然后根据数量关系式：“速度×时间＝路程”和“速度＝路程÷时间”即可作出解答．
19．三视图与展开图
【知识点归纳】
三视图怎么看：
1．从正面看，为主视图
2．从侧面看，为左视图
3．从上面看，为俯视图
展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1
一．选择题（共5小题）
1．（2004•丹阳市）如图是由4个完全相同的小正方体堆成的一个立体图形，从上面看这个图形，可以看到（ ）个小正方形．
A．2 B．3
C．4 D．以上答案都不正确
2．（2021春•郴州期末）要使1810是3的倍数，至少要加上（ ）
A．1 B．2 C．3
3．（2021春•天门期中）有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15 B．30 C．60
4．（2021秋•新田县期末）两个同分子分数比较大小，（ ）
A．一样大 B．分母大的分数大
C．分母小的分数大
5．（2021秋•茶陵县期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
6．（2022春•临湘市期中）54÷6＝9中， 是 的倍数， 是 的因数。
7．（2021春•湖南期中）20的因数有 个，其中最大的是 ，最小的是 ，20的倍数有 个，其中最小的是 。
8．（2022春•临湘市期中）在横线上填上合适的数。
43200立方厘米＝ 升
60L30mL＝ dm3
5.03m3＝ m3 dm3
3.58立方分米＝ 毫升
9．（2022春•通道县期中）一个正方体的表面积是216dm²，它的体积是 dm³。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深 cm。
10．（2022春•冷水滩区校级期中）一个正方体棱长总和是48厘米，每一条棱长是 厘米，它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
11．（2021秋•永顺县期末）把811米长的绳子平均分成4段，每段长 米，每段占411米的 ，每段是1米的 。
12．（2021春•茶陵县期末）如图的图形中有 条对称轴。
13．（2019•衡阳模拟）2个17加上4个17，得 个17，就是 ．
14．（2019•长沙）某人骑车沿直线旅行，先前进了akm休息了一段时间，又原路返回了bkm（b＜a）．再前进ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 ．
15．（2021春•娄星区期末）有12瓶钙片，其中一瓶少了3颗，用一架没有砝码的天平去称，至少要称 次才能保证找出少了的这瓶。
三．判断题（共5小题）
16．（2021秋•新丰县期末）一个数的倍数的个数是有限的，因数的个数是无限的． （判断对错）
17．（2022•南沙区校级自主招生）自然数中，不是质数，就是合数． （判断对错）
18．（2021春•娄星区期末）因为3.5÷0.7＝5，所以3.5是0.7的倍数。 （判断对错）
19．（2021秋•望城区期末）如图中阴影部分占整个图形的23。 （判断对错）
20．（2021秋•隆回县期末）把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25。 （判断对错）
四．计算题（共2小题）
21．（2020•衡阳）计算下面图形的表面积和体积.
22．（2021春•华容县期末）直接写出得数。
23+79=
78−58+58=
116−16=
310+710=
67−56=
18−19=
7−53=
38+0.125=
五．应用题（共4小题）
23．（2022春•汉寿县期中）一个新建的游泳池长60m，宽25m，深2.5m。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？
24．（2021秋•华容县期末）李老师在商场买了一个礼品盒，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员为他用彩带把礼品盒扎起来，打结处彩带长2分米，求彩带的长度？
25．（2022春•临湘市期中）一个水族箱长10m，宽3m，高4m，一条鲨鱼放入水族箱后，水面由3m升至3.12m，鲨鱼的体积有多大？
26．（2021秋•炎陵县期末）一堆沙子，甲车运走了全部的29，乙车运走了全部的39。甲、乙两车共运走了全部几分之几？还剩几分之几没有运完？
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•通道县期中）把下面的几何体从正面、上面、左面观察到的图形在方格纸上画出来。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2004•丹阳市）如图是由4个完全相同的小正方体堆成的一个立体图形，从上面看这个图形，可以看到（ ）个小正方形．
A．2 B．3
C．4 D．以上答案都不正确
【考点】三视图与展开图．
【专题】压轴题．
【分析】从上面看所得到的图形是俯视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可．
【解答】解：从上面看下来，左面一列是2个正方形，右面一列是1个正方形．
可以看到这个立体图形的2+1＝3个面．
故选：B。
【点评】此题主要考查了三种视图中的俯视图，比较简单．
2．（2021春•郴州期末）要使1810是3的倍数，至少要加上（ ）
A．1 B．2 C．3
【考点】3的倍数特征．
【专题】数感．
【分析】根据3的倍数特征：如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；
先计算出（1+8+1+0），再进行解答。
【解答】解：1+8+1+0
＝9+1+0
＝10
10+2＝12
12是3的倍数。
答：要使1810是3的倍数，至少要加上2。
故选：B。
【点评】本题考查了3的倍数特征，要熟练掌握。
3．（2021春•天门期中）有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15 B．30 C．60
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除．
【分析】由题意知：30的最小倍数是30×1＝30，最大约数是30，因为最大约数和最小倍数相等，故这个数为30．
【解答】解：有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数就是30本身；
故选：B．
【点评】此题应结合倍数和因数的意义进行解答，即可得出结论．
4．（2021秋•新田县期末）两个同分子分数比较大小，（ ）
A．一样大 B．分母大的分数大
C．分母小的分数大
【考点】分数大小的比较．
【专题】推理能力．
【分析】分子相同的两个分数比较大小，分母小的这个分数就大，据此解答。
【解答】解：因分子相同的两个分数比较大小，分母小的这个分数就大。
故选：C。
【点评】本题考查了学生对同分子分数比较大小方法的掌握情况。
5．（2021秋•茶陵县期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的条数及位置。
【解答】解：上列图形中，对称轴条数最多的是，有5条；有2条对称轴；长方形有2条对称轴；有2条对称轴；有3条对称轴。
故选：D。
【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活应用。
二．填空题（共10小题）
6．（2022春•临湘市期中）54÷6＝9中， 54 是 6或9 的倍数， 6或9 是 54 的因数。
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：54÷6＝9中，54是6或9的倍数，6或9是54的因数。
故答案为：54，6或9，6或9，54。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
7．（2021春•湖南期中）20的因数有 6 个，其中最大的是 20 ，最小的是 1 ，20的倍数有 无数 个，其中最小的是 20 。
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数感．
【分析】找配对的方法找出20的因数：20＝1×20＝2×10＝4×5，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身；找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6……，一个数的倍数的个数是无限的。
【解答】解：20的因数有 1，2，4，5，10，20，共6个，其中最大的是20，最小的是 1，20的倍数有无数个，其中最小的是20。
故答案为：6，20，1，无数，20。
【点评】本题考查了求一个数的因数和倍数的方法。
8．（2022春•临湘市期中）在横线上填上合适的数。
43200立方厘米＝ 43.2 升
60L30mL＝ 60.03 dm3
5.03m3＝ 5 m3 30 dm3
3.58立方分米＝ 3580 毫升
【考点】体积、容积进率及单位换算．
【专题】数感．
【分析】低级单位立方分米化高级单位升除以进率1000。
把30毫升除以进率1000化成0.03升再加60升是60.03升，立方分米与升是同一级单位二者互化数值不变。
5.03立方米看作5立方米与0.03立方米之和，把0.03立方米乘进率1000化成30立方分米。
高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000。
【解答】解：
43200立方厘米＝43.2升
60L30mL＝60.03dm3
5.03m3＝5m330dm3
3.58立方分米＝3580毫升
故答案为：43.2；60.03；5，30；3580。
【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。
9．（2022春•通道县期中）一个正方体的表面积是216dm²，它的体积是 216 dm³。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深 28 cm。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，已知正方体的表面积可以求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积；根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式求出水深。
【解答】解：设正方体的棱长为a分米，
6a2＝216
a2＝36
a＝6
6×6×6
＝36×6
＝216（立方分米）
28升＝28000立方厘米
28000÷（40×25）
＝28000÷1000
＝28（厘米）
答：正方体的体积是216立方分米，这个水槽水深28厘米。
故答案为：216，28。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。
10．（2022春•冷水滩区校级期中）一个正方体棱长总和是48厘米，每一条棱长是 4 厘米，它的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】首先用正方体的棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：48÷12＝4（厘米）
4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：每一条棱长是4厘米，它的表面积是9平方厘米，体积是64立方厘米。
故答案为：4，96，64。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2021秋•永顺县期末）把811米长的绳子平均分成4段，每段长 211 米，每段占411米的 12 ，每段是1米的 211 。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把811米长的绳子平均分成4段，求每段长，用这根绳子的长度除以4；求每段是411的几分之几，用每段长除以411米；求每段是1米的几分之几，用每段长除以1米。
通前面计算，每段是211米，相当于把1米平均分成11份，每分是111米，211表示其中2份，即1米的211
【解答】解：811÷4=211（米）
211÷411=12
211÷1=211
答：每段长211米，每段占411米的12，每段是1米的211。
故答案为：211，12，211。
【点评】把一个数平均分成若干份，求每份是多少，用这个数除以另一个数；求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
12．（2021春•茶陵县期末）如图的图形中有 2 条对称轴。
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】依据轴对称图形的定义及特征即可作答：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴。
【解答】解：如图的图形中有2条对称轴。
故答案为：2。
【点评】此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数，熟记常见轴对称图形的对称轴条数即可解答。
13．（2019•衡阳模拟）2个17加上4个17，得 6 个17，就是 67 ．
【考点】分数的加法和减法．
【分析】2个17加上4个17即为2+4＝6个17，根据分数乘法的意义可知，6个17即17×6=67．
【解答】解：2+4＝6（个），
17×6=67．
即2个17加上4个17，得6个17，就是67．
故答案为：6，67．
【点评】完成本题要注意分数乘整数与整数乘分数的意义是不同的，分数乘整数是求几个相同加数和的简便运算；整数乘分数是求一个数的几分之几是多少．
14．（2019•长沙）某人骑车沿直线旅行，先前进了akm休息了一段时间，又原路返回了bkm（b＜a）．再前进ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 第二个 ．
【考点】单式折线统计图．
【分析】应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回bkm，”要通过图象反映出来．
【解答】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除第一个；
又按原路返回bkm，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除第四个；
C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除第三个；
故答案为：第二个．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．
15．（2021春•娄星区期末）有12瓶钙片，其中一瓶少了3颗，用一架没有砝码的天平去称，至少要称 3 次才能保证找出少了的这瓶。
【考点】找次品．
【专题】推理能力；应用意识．
【分析】第一次：把12瓶钙片，平均分成2份，每份6瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；第二次：把天平秤较高端的6瓶钙片平均分成2份，每份3瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；第三次：从天平秤较高的3瓶钙片中，任取2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶钙片即为质量较轻的，若不平衡，天平秤较高端的那瓶钙片即为质量较轻的那瓶药片；据此即可解答。
【解答】解：第一次：把12瓶钙片，平均分成2份，每份6瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；
第二次：把天平秤较高端的6瓶钙片平均分成2份，每份3瓶，分别放在天平秤两端，少的那瓶在天平较高端；
第三次：从天平秤较高的3瓶钙片中，任取2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶钙片即为质量较轻的，若不平衡，天平秤较高端的那瓶钙片即为质量较轻的那瓶药片。
答：至少3次就能保证找出少了3颗的那一瓶。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查找次品，利用天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取钙片的瓶数。
三．判断题（共5小题）
16．（2021秋•新丰县期末）一个数的倍数的个数是有限的，因数的个数是无限的． × （判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的； 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的；据此判断即可．
【解答】解：一个数的倍数是无限的，而因数的个数是有限的；
所以原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的概念及意义．
17．（2022•南沙区校级自主招生）自然数中，不是质数，就是合数． × （判断对错）
【考点】合数与质数．
【专题】数的整除．
【分析】举出一个反例，自然数（0除外）中有既不是质数也不是合数的数，进行证明．
【解答】解：自然数1既不是质数也不是合数．
所以自然数（0除外）不是质数，就是合数的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查质数合数的意义，注意自然数1既不是质数也不是合数．
18．（2021春•娄星区期末）因为3.5÷0.7＝5，所以3.5是0.7的倍数。 × （判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】常规题型；模型思想．
【分析】假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称n就是m的倍数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。
【解答】解：因为3.5和0.7是小数，而不是整数，因此此说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了倍数的意义，只有在非0的整数中才研究因数和倍数的意义。
19．（2021秋•望城区期末）如图中阴影部分占整个图形的23。 × （判断对错）
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把一个三角形的面积看作一个整体，把它平均分成3份，每份是它的13，23表示其中2份涂色。
【解答】解：如图：
把一个三角形分成大小不同的3份，其中2份涂阴影，阴影部分不占整个图形的23。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题是考查分数的意义。把一个整体平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
20．（2021秋•隆回县期末）把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25。 √ （判断对错）
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感；应用意识．
【分析】把一个苹果平均分成了5块，每块是15，小明吃了2块，就是25，据此解答。
【解答】解：2÷5=25
把一个苹果平均分成5块，小明吃了2块，小明吃了这个苹果的25，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了分数的意义，关键是弄清求的是具体的数量还是分率。
四．计算题（共2小题）
21．（2020•衡阳）计算下面图形的表面积和体积.
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】①根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
②根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：①（4×2+4×3+2×3）×2
＝（8+12+6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
4×2×3＝24（立方厘米）
答：它的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。
②3×3×6＝54（平方分米）
3×3×3＝27（立方分米）
答：它的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。
【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．（2021春•华容县期末）直接写出得数。
23+79=
78−58+58=
116−16=
310+710=
67−56=
18−19=
7−53=
38+0.125=
【考点】分数的加法和减法．
【专题】解题思想方法；运算能力．
【分析】同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变；异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算；有小数的先把小数化成分数再进行计算。
【解答】解：
23+79=139
78−58+58=78
116−16=53
310+710=1
67−56=142
18−19=172
7−53=513
38+0.125=12
故答案为：139，78，53，1，142，172，513，12。
【点评】此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性。
五．应用题（共4小题）
23．（2022春•汉寿县期中）一个新建的游泳池长60m，宽25m，深2.5m。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】由于游泳池无盖，所以根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。
【解答】解：60×25+60×2.5×2+25×2.5×2
＝1500+300+125
＝1925（平方米）
答：一共需要贴1925平方米的瓷砖。
【点评】此题主要考查无盖长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．（2021秋•华容县期末）李老师在商场买了一个礼品盒，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员为他用彩带把礼品盒扎起来，打结处彩带长2分米，求彩带的长度？
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高再加上打结用的2分米，据此解答。
【解答】解：4×2+3×2+2.5×4+2
＝8+6+10+2
＝26（分米）
答：彩带的长度是26分米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和。
25．（2022春•临湘市期中）一个水族箱长10m，宽3m，高4m，一条鲨鱼放入水族箱后，水面由3m升至3.12m，鲨鱼的体积有多大？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把这条鱼放入水箱中，上升部分水的体积等于这条鱼的体积．根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．
【解答】解：10×3×（3.12﹣3）
＝30×0.12
＝3.6（m3）
答：鲨鱼的体积是3.6立方米．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
26．（2021秋•炎陵县期末）一堆沙子，甲车运走了全部的29，乙车运走了全部的39。甲、乙两车共运走了全部几分之几？还剩几分之几没有运完？
【考点】同分母分数加减法．
【专题】数据分析观念．
【分析】甲、乙两车共运走了全部几分之几就是甲运走的+乙运走的即可解答。
【解答】解：29+39=59
1−59=49
答：甲、乙两车共运走了全部59；还剩49没有运完。
【点评】本题主要考查同分母分数加减法。
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•通道县期中）把下面的几何体从正面、上面、左面观察到的图形在方格纸上画出来。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【分析】这个立体图形由6个相同的小正主体组成。从前面能看到4个相同的正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到5个相同的正方形，分三层，上层3个，中层、下层各1个，右齐；从左面能看到4个相同的正方形，分两层，上层1个，下层3个，左齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
考点卡片
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数． × ．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小． × ．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是 1：2＝3：6 ．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数． × ．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是 120 ．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． × ．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
5．3的倍数特征
3的倍数特征
6．分数的意义和读写
【知识点归纳】＜BR＞分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．＜BR＞在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．＜BR＞分数的分类：＜BR＞（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．＜BR＞（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．＜BR＞带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）＜BR＞A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长＜BR＞分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．＜BR＞解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3−34=214（米）；＜BR＞第二根剪去34，剩下的长度是3×（1−34）=34（米）．＜BR＞所以第一根剩下的部分长．＜BR＞故选：A．＜BR＞点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
7．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
8．同分母分数加减法
同分母分数加减法
9．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6−13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）−38
解：（34+56）−38，
=34−38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
10．找次品
【知识点归纳】
次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．
方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品．
【命题方向】
常考题型：
例：有15盒饼干，有14盒重量达标，其中有1盒少10克的混在里面．现在用天平称，至少称几次才能把不合格的那一盒找出来？
分析：第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干，据此即可解答．
解：至少称三次才能把不合格的那一盒找出来，
第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干．
点评：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取饼干的盒数．
11．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
12．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
13．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
14．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
15．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
16．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
17．确定轴对称图形的对称轴条数及位置
【知识点归纳】
1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．
2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．
3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．
【命题方向】
常考题型：
例：下列图形中，（ ）的对称轴最多．
A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形
分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择．
解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，
两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有3条对称轴；
（3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰梯形是轴对称图形，
上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有1条对称轴；
（4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，
任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
所以说圆的对称轴最多．
故选：D．
点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征．
例2：下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形．
解：A：根据它的组合特点，它有4条对称轴；
B：这是一个正八边形，有8条对称轴；
C：这个组合图形有3条对称轴；
D：这个图形有5条对称轴；
故选：B．
点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴．
18．单式折线统计图
【知识点归纳】
1．折线统计图：
用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化．容易看出数量的增减变化情况．
2．折现统计图制作步骤：
（1）标题：根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；
（2）画出横、纵轴：先画纵轴，后画横轴，横、纵轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量；
（3）描点、连线：根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 72 千米．
分析：从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5＝9（分钟），根据“速度×时间＝路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度＝路程÷时间”即可得出答案．
解：48×（4+5）÷（19﹣13），
＝48×9÷6，
＝72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
故答案为：72．
点评：此题首先根据问题从图中找出所需要的信息，然后根据数量关系式：“速度×时间＝路程”和“速度＝路程÷时间”即可作出解答．
19．三视图与展开图
【知识点归纳】
三视图怎么看：
1．从正面看，为主视图
2．从侧面看，为左视图
3．从上面看，为俯视图
展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形
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