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2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3
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这是一份2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3，共31页。试卷主要包含了已知a是41的因数，那么，的对称轴数量最多等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3
一．选择题（共5小题）
1．（2013•西乡县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
2．已知a是41的因数，那么（ ）
A．a只能是1 B．a只能是41 C．a是1或41
3．（2012春•潘集区月考）因为51＝3×17，所以3和17都是51的（ ）
A．互质数 B．质因数 C．因数 D．质数
4．（2021秋•大田县期末）下面各数中，最接近23的是（ ）
A．910 B．0.667 C．35 D．70%
5．（2021春•淮安区校级期中）下面各图形中，（ ）的对称轴数量最多。
A．圆 B．正三角形 C．长方形 D．正方形
二．填空题（共10小题）
6．（2021秋•肇源县期末）24÷4＝6中 是 的倍数， 是 的因数。
7． 是2的因数，又是2的倍数．
8．一个数既是4的倍数，又是60的因数，这个数可能是 ．
9．（2021春•临泉县期中）如图，比较两个物体的表面积是甲 乙，体积是甲 乙。
（填“＞”“＜”或“＝”）。
10．（2020秋•邳州市期中）用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，这个正方体的表面积是 平方分米，体积是 立方分米。
11．（2021秋•无为市期末） 个111是411，再加上 个111是1。
12．（2021秋•南关区期末）圆 （是或不是）轴对称图形，有 条对称轴。
13．（2019•青岛开学）请将正确的序号写在横线上 ．
①长方形有两条对称轴；
②大于90°的角都是钝角；
③平行四边形是轴对称图形．
14．59与 的和是最小的自然数，110+13的和的分数单位是 ．
15．有一批零件，其中有1个是次品（质量轻一些），现用天平进行称量，至少称几次就能保证找出这个次品？
①从6个零件中找出1个次品，至少称 次就能保证找出这个次品．
②从25个零件中找出1个次品，至少称 次就能保证找出这个次品．
三．判断题（共5小题）
16．一个数的最小因数和最大倍数都是它本身． （判断对错）
17．29是质数，它的因数也都是质数。 （判断对错）
18．（2019秋•蓝山县期末）因为3.6÷6＝0.6，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数． （判断对错）．
19．（2018春•漳平市校级期末）凡是8的倍数也一定是2的倍数． ．（判断对错）
20．正方形有四条对称轴，平行四边形有一条对称轴． （判断对错）
四．计算题（共2小题）
21．（2020春•三台县期中）求下面各图形的表面积和体积．（单位：分米）
22．我会算。
26+36=
27+57=
210+110=
49+59=
58−38=
44−22=
1−413=
1−515=
五．应用题（共4小题）
23．如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
24．（2019秋•龙州县期末）做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？
25．在一个长15厘米．宽8厘米、高12厘米的长方体容器中放一个棱长为6厘米的正方体铁块，先装满水，再把铁块取出，水面会下降多少厘米？（容器厚度不计）
26．把一根木料第一次截去310m，第二次截910m，还剩310m，这根木料原来长多少米？
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•万州区期中）按要求画一画。
前面看到的形状；左面看到的形状；上面看到的形状。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2013•西乡县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
【考点】三视图与展开图．
【专题】压轴题．
【分析】根据从正面看到，从上面看到，可知该物体有前后两排，都只有一层高，依此即可得到从右面看到的图形．
【解答】解：由主视图和俯视图可知该物体有前后两排，有一层高，
则从右面看到．
故选：A。
【点评】考查了三视图与展开图，得到该物体的排数和每排的层高是解题的关键．
2．已知a是41的因数，那么（ ）
A．a只能是1 B．a只能是41 C．a是1或41
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除；运算能力．
【分析】根据找一个数因数的方法，列举出41的因数，据此即可求解．
【解答】解：41的因数有1、41，所以a是41的因数，那么a是1或41．
故选：C．
【点评】此题主要是理解因数的含义，是解答此题的关键．
3．（2012春•潘集区月考）因为51＝3×17，所以3和17都是51的（ ）
A．互质数 B．质因数 C．因数 D．质数
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数的整除．
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；因为3和17都是质数，所以这两个数又是51的质因数；由此进行解答即可．
【解答】解：因为51＝3×17，所以3和17都是51的因数，也是51的质因数；
故选：BC．
【点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．
4．（2021秋•大田县期末）下面各数中，最接近23的是（ ）
A．910 B．0.667 C．35 D．70%
【考点】分数大小的比较．
【专题】推理能力．
【分析】先把23的化成小数，再把各选项中的分数、百分数都化成小数，再进一步观察即可解答。
【解答】解：23=0.6⋅≈0.667
910=0.9
35=0.6
70%＝0.7
所以最接近23的是0.667。
故选：B。
【点评】熟练掌握分数、百分数化成小数的方法是解题的关键。
5．（2021春•淮安区校级期中）下面各图形中，（ ）的对称轴数量最多。
A．圆 B．正三角形 C．长方形 D．正方形
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答。
【解答】解：选项A：圆有无数条对称轴；
选项B：正三角形有3条对称轴；
选项C：长方形有2条对称轴；
选项D：正方形有4条对称轴；
故选：A。
【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征，找出各个图形的对称轴条数即可解答问题。
二．填空题（共10小题）
6．（2021秋•肇源县期末）24÷4＝6中 24 是 4或6 的倍数， 4或6 是 24 的因数。
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：24÷4＝6中24是4或6的倍数，4或6是24的因数。
故答案为：24，4或6，4或6，24。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
7． 2 是2的因数，又是2的倍数．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数的整除．
【分析】根据求一个数的因数、倍数的方法，2的因数有1、2；2的倍数有2、4，…据此找出即可．
【解答】解：2的因数有1、2；2的倍数有2、4，…
所以即是2的因数，又是2的倍数的数是2．
故答案为：2．
【点评】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论．
8．一个数既是4的倍数，又是60的因数，这个数可能是 4，12，20，60． ．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数的整除；数感．
【分析】先找出60的因数，看看60的因数中哪些数是4的倍数．
【解答】解：60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．
在60的因数里，是4的倍数的数有：4，12，20，60．
故答案为：4，12，20，60．
【点评】这道题目解题的关键是要熟练掌握找因数和倍数的方法．
9．（2021春•临泉县期中）如图，比较两个物体的表面积是甲 ＝ 乙，体积是甲 ＞ 乙。
（填“＞”“＜”或“＝”）。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；推理能力；应用意识．
【分析】通过观察图形可知，在长方体（正方体）顶点处挖掉一个小正方体，原来这个小正方体外露3个面，挖掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来相等。由此可知，甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。据此解答。
【解答】解：由分析得：在乙的顶点处挖掉一个小正方体，原来这个小正方体外露3个面，挖掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来相等。由此可知，甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。
故答案为：＝，＞。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体（正方体）表面积的意义、体积的意义及应用。
10．（2020秋•邳州市期中）用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，这个正方体的表面积是 6 平方分米，体积是 1 立方分米。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等。用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，也就是焊成正方体的棱长总和是12分米，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：12÷12＝1（分米）
1×1×6＝6（平方分米）
1×1×1＝1（立方分米）
答：这个正方体的表面积是6平方分米，体积是1立方分米。
故答案为：6，1。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2021秋•无为市期末） 4 个111是411，再加上 7 个111是1。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把一个整体平均分成11份，其中的1份就是111，4份就是411，所以4个111就是411；1就是11个111，4个111再加上7个111才是1111，由此求解。
【解答】解：4个111是411，再加上7个111是1。
故答案为：4，7。
【点评】解决本题关键是明确分数的意义，找清楚有几个111。
12．（2021秋•南关区期末）圆 是 （是或不是）轴对称图形，有 无数 条对称轴。
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】根据轴对称图形的意义，圆是轴对称图形，它的每条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条直径，因此，一个圆有无数条对称轴。
【解答】解：圆是轴对称图形，有无数条对称轴。
故答案为：是，无数。
【点评】此题考查的知识点：轴对称图形的意义、圆的特征。
13．（2019•青岛开学）请将正确的序号写在横线上 ① ．
①长方形有两条对称轴；
②大于90°的角都是钝角；
③平行四边形是轴对称图形．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置；轴对称图形的辨识；角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；图形与变换；几何直观．
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴；依据轴对称图形的定义即可作答。
【解答】解：①长方形有两条对称轴，说法正确；
②大于90°而小于180°的角是钝角，所以本选项说法错误；
③平行四边形不是轴对称图形，也就没有对称轴；
故答案为：①。
【点评】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置。
14．59与 49 的和是最小的自然数，110+13的和的分数单位是 130 ．
【考点】分数的加法和减法．
【专题】文字叙述题．
【分析】最小的自然数是1，用1减去59即可；
先求出110+13的和，再根据一个分数的分数单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一，据此解答即可．
【解答】解：1−59=49
110+13=330+1030=1330
答：59与49的和是最小的自然数，110+13的分数单位是130．
故答案为：49，130．
【点评】此题主要考查了最小的非零自然数是1，也考查分数的单位：把单位“1”平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位．
15．有一批零件，其中有1个是次品（质量轻一些），现用天平进行称量，至少称几次就能保证找出这个次品？
①从6个零件中找出1个次品，至少称 2 次就能保证找出这个次品．
②从25个零件中找出1个次品，至少称 3 次就能保证找出这个次品．
【考点】找次品．
【专题】优化问题；推理能力；应用意识．
【分析】①把6个零件分成（2，2，2）三组，天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
②把25个零件分成（5，5，5）三组，天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；把有次品的一组2个分成（2，2，1），天平两端各放2个，如果平衡，次品就是未称的1个，如果不平衡，次品在轻的那一组；把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
【解答】解：①把6个零件分成（2，2，2）三组
称第一次：天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；
第第二次：把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
从6个零件中找出1个次品，至少称2次就能保证找出这个次品．
②把25个零件分成（5，5，5）三组
称第一次：天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；
称第二次：把有次品的一组2个分成（2，2，1），天平两端各放2个，如果平衡，次品就是未称的1个，如果不平衡，次品在轻的那一组；
称第三次：把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
从25个零件中找出1个次品，至少称3次就能保证找出这个次品．
故答案为：2，3．
【点评】用平衡找次品的关键是把被检测的物品进行合理分组，分组不同，称的次数也会不同．
三．判断题（共5小题）
16．一个数的最小因数和最大倍数都是它本身． √ （判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身，一个数的倍数是无限的，最小是它本身，没有最大倍数，据此解答．
【解答】解：一个数的最小因数和最大倍数都是它本身，说法正确；
故答案为：√．
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身．
17．29是质数，它的因数也都是质数。 × （判断对错）
【考点】合数与质数．
【专题】数的整除；数感．
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此解答。
【解答】解：29是质数，29的因数有1和29，其中1不是质数，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了质数与因数的意义的综合应用。
18．（2019秋•蓝山县期末）因为3.6÷6＝0.6，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数． × （判断对错）．
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数的整除；数感．
【分析】要注意，只有在除法算式中，除数和被除数都是整数的情况下才能讨论倍数和因数的概念．
【解答】解：因为3.6÷6＝0.6，因为3.6和0.6是小数，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数，说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题是基本概念问题，主要考查约数与倍数的意义，倍数和约数两者都只能是整数，不能是小数．
19．（2018春•漳平市校级期末）凡是8的倍数也一定是2的倍数． √ ．（判断对错）
【考点】2、5的倍数特征．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】根据因数与倍数的意义，如果甲数的乙数的倍数，那么乙数是甲数的因数，据此判断即可．
【解答】解：因为8是2的倍数，所以8的倍数一定是2的倍数．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数之间的关系及应用．
20．正方形有四条对称轴，平行四边形有一条对称轴． × （判断对错）
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置；轴对称图形的辨识．
【专题】平面图形的认识与计算．
【分析】正方形有4条对称轴，过对边中点的直线和对角线所在的直线；根据轴对称图形的意义，平行四边形不属于轴对称图形．
【解答】解：正方形有 4条对称轴．平行四边形不是轴对称图形．
所以原题的说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题是考查轴对称图形的意义、正方形、平行四边形的特征等．
四．计算题（共2小题）
21．（2020春•三台县期中）求下面各图形的表面积和体积．（单位：分米）
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答．
（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．
（3）由于正方体和长方体粘合在一起，所以在计算表面积时，长方体只求上下、前后4个面，正方体计算它的表面积，它的体积等于正方体与长方体的体积和．据此解答．
【解答】解：（1）12×6×2+12×3.5×2+6×3.5×2
＝144+84+42
＝270（平方方米）
12×6×3.5＝252（立方分米）
答：这个长方体的表面积是270平方分米，体积是252立方分米．
（2）7×7×6＝294（平方分米）
7×7×7＝343（立方分米）
答：这个正方体的表面积是294平方分米，体积是343立方分米．
（3）2×2×6+3×1×2+3×2×2
＝24+6+12
＝42（平方分米）
2×2×2+3×2×1
＝8+6
＝14（立方分米）
答：它的表面积是42平方分米，体积是14立方分米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
22．我会算。
26+36=
27+57=
210+110=
49+59=
58−38=
44−22=
1−413=
1−515=
【考点】分数的加法和减法．
【专题】计算题；运算能力；应用意识．
【分析】根据同分母分数加减法的计算法则，分母不变，只把分子相加减。据此直接口算即可。
【解答】解：
26+36=56
27+57=1
210+110=310
49+59=1
58−38=28
44−22=0
1−413=913
1−515=1015
【点评】此题考查的目的是理解掌握同分母分数加减法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力。
五．应用题（共4小题）
23．如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把两个完全一样的长方体物品形成一件大的包装物，有三种不同包装方法，要使打包后表面积最小，可以把两个长方体物品的最大面重合在一起．拼成一个长8厘米，宽7厘米，高（3×2）厘米的长方体，据此解答．
【解答】解：有三种不同的包装方法，可以把两个长方体物品的上下面重合在一起；也可以把两个长方体物品的前后面重合在一起；还也可以把两个长方体物品的左右面重合在一起；把两个长方体物品上下面重合在一起拼成一个长8厘米，宽7厘米，高（3×2）厘米的长方体，表面积最小．
答：有三种不同的包装方法，把两个长方体物品的最大面重合在一起表面积最小．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．
24．（2019秋•龙州县期末）做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？
【考点】长方体的特征．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：（12+9+6）×4
＝27×4
＝108（厘米）
答：至少需要108厘米的木条．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
25．在一个长15厘米．宽8厘米、高12厘米的长方体容器中放一个棱长为6厘米的正方体铁块，先装满水，再把铁块取出，水面会下降多少厘米？（容器厚度不计）
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积即可．
【解答】解：6×6×6÷（15×8）
＝216÷120
＝1.8（厘米）
答：水面会下降1.8厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
26．把一根木料第一次截去310m，第二次截910m，还剩310m，这根木料原来长多少米？
【考点】同分母分数加减法．
【专题】数据分析观念；应用意识．
【分析】根据把两次截去的长度加上剩下的长度就是原来的长度。据此解答。
【解答】解：310+910+310=32（米）
答：这根木料原来长32米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握分数加法的计算法则及应用。
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•万州区期中）按要求画一画。
前面看到的形状；左面看到的形状；上面看到的形状。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【分析】这个立体图形由8个相同的小正方体组成。从前面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层3个，左齐；从左面能看到4个相同的小正方形，分两层，每层2个，呈“田”字形；从上面能看到6个相同的小正方形，分两层，每层2个，上下齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
考点卡片
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数． × ．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小． × ．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是 1：2＝3：6 ．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数． × ．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是 120 ．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． × ．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
5．2、5的倍数特征
2、5的倍数特征
6．分数的意义和读写
【知识点归纳】＜BR＞分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．＜BR＞在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．＜BR＞分数的分类：＜BR＞（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．＜BR＞（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．＜BR＞带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）＜BR＞A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长＜BR＞分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．＜BR＞解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3−34=214（米）；＜BR＞第二根剪去34，剩下的长度是3×（1−34）=34（米）．＜BR＞所以第一根剩下的部分长．＜BR＞故选：A．＜BR＞点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
7．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
8．同分母分数加减法
同分母分数加减法
9．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6−13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）−38
解：（34+56）−38，
=34−38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
10．找次品
【知识点归纳】
次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．
方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品．
【命题方向】
常考题型：
例：有15盒饼干，有14盒重量达标，其中有1盒少10克的混在里面．现在用天平称，至少称几次才能把不合格的那一盒找出来？
分析：第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干，据此即可解答．
解：至少称三次才能把不合格的那一盒找出来，
第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干．
点评：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取饼干的盒数．
11．角的概念和表示
角的概念和表示
12．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
13．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
14．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
15．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
16．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
17．确定轴对称图形的对称轴条数及位置
【知识点归纳】
1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．
2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．
3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．
【命题方向】
常考题型：
例：下列图形中，（ ）的对称轴最多．
A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形
分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择．
解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，
两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有3条对称轴；
（3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰梯形是轴对称图形，
上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有1条对称轴；
（4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，
任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
所以说圆的对称轴最多．
故选：D．
点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征．
例2：下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形．
解：A：根据它的组合特点，它有4条对称轴；
B：这是一个正八边形，有8条对称轴；
C：这个组合图形有3条对称轴；
D：这个图形有5条对称轴；
故选：B．
点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴．
18．轴对称图形的辨识
【知识点归纳】
1．轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．
【命题方向】
常考题型：
例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图形；
图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对称图形．
如图的交通标志中，轴对称图形有2个．
故选：C．
点评：此题主要考查轴对称图形的定义．
19．三视图与展开图
【知识点归纳】
三视图怎么看：
1．从正面看，为主视图
2．从侧面看，为左视图
3．从上面看，为俯视图
展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3
一．选择题（共5小题）
1．（2013•西乡县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
2．已知a是41的因数，那么（ ）
A．a只能是1 B．a只能是41 C．a是1或41
3．（2012春•潘集区月考）因为51＝3×17，所以3和17都是51的（ ）
A．互质数 B．质因数 C．因数 D．质数
4．（2021秋•大田县期末）下面各数中，最接近23的是（ ）
A．910 B．0.667 C．35 D．70%
5．（2021春•淮安区校级期中）下面各图形中，（ ）的对称轴数量最多。
A．圆 B．正三角形 C．长方形 D．正方形
二．填空题（共10小题）
6．（2021秋•肇源县期末）24÷4＝6中 是 的倍数， 是 的因数。
7． 是2的因数，又是2的倍数．
8．一个数既是4的倍数，又是60的因数，这个数可能是 ．
9．（2021春•临泉县期中）如图，比较两个物体的表面积是甲 乙，体积是甲 乙。
（填“＞”“＜”或“＝”）。
10．（2020秋•邳州市期中）用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，这个正方体的表面积是 平方分米，体积是 立方分米。
11．（2021秋•无为市期末） 个111是411，再加上 个111是1。
12．（2021秋•南关区期末）圆 （是或不是）轴对称图形，有 条对称轴。
13．（2019•青岛开学）请将正确的序号写在横线上 ．
①长方形有两条对称轴；
②大于90°的角都是钝角；
③平行四边形是轴对称图形．
14．59与 的和是最小的自然数，110+13的和的分数单位是 ．
15．有一批零件，其中有1个是次品（质量轻一些），现用天平进行称量，至少称几次就能保证找出这个次品？
①从6个零件中找出1个次品，至少称 次就能保证找出这个次品．
②从25个零件中找出1个次品，至少称 次就能保证找出这个次品．
三．判断题（共5小题）
16．一个数的最小因数和最大倍数都是它本身． （判断对错）
17．29是质数，它的因数也都是质数。 （判断对错）
18．（2019秋•蓝山县期末）因为3.6÷6＝0.6，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数． （判断对错）．
19．（2018春•漳平市校级期末）凡是8的倍数也一定是2的倍数． ．（判断对错）
20．正方形有四条对称轴，平行四边形有一条对称轴． （判断对错）
四．计算题（共2小题）
21．（2020春•三台县期中）求下面各图形的表面积和体积．（单位：分米）
22．我会算。
26+36=
27+57=
210+110=
49+59=
58−38=
44−22=
1−413=
1−515=
五．应用题（共4小题）
23．如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
24．（2019秋•龙州县期末）做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？
25．在一个长15厘米．宽8厘米、高12厘米的长方体容器中放一个棱长为6厘米的正方体铁块，先装满水，再把铁块取出，水面会下降多少厘米？（容器厚度不计）
26．把一根木料第一次截去310m，第二次截910m，还剩310m，这根木料原来长多少米？
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•万州区期中）按要求画一画。
前面看到的形状；左面看到的形状；上面看到的形状。
2021-2022学年下学期长沙市小学数学五年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2013•西乡县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
【考点】三视图与展开图．
【专题】压轴题．
【分析】根据从正面看到，从上面看到，可知该物体有前后两排，都只有一层高，依此即可得到从右面看到的图形．
【解答】解：由主视图和俯视图可知该物体有前后两排，有一层高，
则从右面看到．
故选：A。
【点评】考查了三视图与展开图，得到该物体的排数和每排的层高是解题的关键．
2．已知a是41的因数，那么（ ）
A．a只能是1 B．a只能是41 C．a是1或41
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除；运算能力．
【分析】根据找一个数因数的方法，列举出41的因数，据此即可求解．
【解答】解：41的因数有1、41，所以a是41的因数，那么a是1或41．
故选：C．
【点评】此题主要是理解因数的含义，是解答此题的关键．
3．（2012春•潘集区月考）因为51＝3×17，所以3和17都是51的（ ）
A．互质数 B．质因数 C．因数 D．质数
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数的整除．
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；因为3和17都是质数，所以这两个数又是51的质因数；由此进行解答即可．
【解答】解：因为51＝3×17，所以3和17都是51的因数，也是51的质因数；
故选：BC．
【点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．
4．（2021秋•大田县期末）下面各数中，最接近23的是（ ）
A．910 B．0.667 C．35 D．70%
【考点】分数大小的比较．
【专题】推理能力．
【分析】先把23的化成小数，再把各选项中的分数、百分数都化成小数，再进一步观察即可解答。
【解答】解：23=0.6⋅≈0.667
910=0.9
35=0.6
70%＝0.7
所以最接近23的是0.667。
故选：B。
【点评】熟练掌握分数、百分数化成小数的方法是解题的关键。
5．（2021春•淮安区校级期中）下面各图形中，（ ）的对称轴数量最多。
A．圆 B．正三角形 C．长方形 D．正方形
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答。
【解答】解：选项A：圆有无数条对称轴；
选项B：正三角形有3条对称轴；
选项C：长方形有2条对称轴；
选项D：正方形有4条对称轴；
故选：A。
【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征，找出各个图形的对称轴条数即可解答问题。
二．填空题（共10小题）
6．（2021秋•肇源县期末）24÷4＝6中 24 是 4或6 的倍数， 4或6 是 24 的因数。
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：24÷4＝6中24是4或6的倍数，4或6是24的因数。
故答案为：24，4或6，4或6，24。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
7． 2 是2的因数，又是2的倍数．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数的整除．
【分析】根据求一个数的因数、倍数的方法，2的因数有1、2；2的倍数有2、4，…据此找出即可．
【解答】解：2的因数有1、2；2的倍数有2、4，…
所以即是2的因数，又是2的倍数的数是2．
故答案为：2．
【点评】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论．
8．一个数既是4的倍数，又是60的因数，这个数可能是 4，12，20，60． ．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数的整除；数感．
【分析】先找出60的因数，看看60的因数中哪些数是4的倍数．
【解答】解：60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．
在60的因数里，是4的倍数的数有：4，12，20，60．
故答案为：4，12，20，60．
【点评】这道题目解题的关键是要熟练掌握找因数和倍数的方法．
9．（2021春•临泉县期中）如图，比较两个物体的表面积是甲 ＝ 乙，体积是甲 ＞ 乙。
（填“＞”“＜”或“＝”）。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；推理能力；应用意识．
【分析】通过观察图形可知，在长方体（正方体）顶点处挖掉一个小正方体，原来这个小正方体外露3个面，挖掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来相等。由此可知，甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。据此解答。
【解答】解：由分析得：在乙的顶点处挖掉一个小正方体，原来这个小正方体外露3个面，挖掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来相等。由此可知，甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。
故答案为：＝，＞。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体（正方体）表面积的意义、体积的意义及应用。
10．（2020秋•邳州市期中）用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，这个正方体的表面积是 6 平方分米，体积是 1 立方分米。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等。用一根长12分米的铁丝焊接一个正方体框架，也就是焊成正方体的棱长总和是12分米，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：12÷12＝1（分米）
1×1×6＝6（平方分米）
1×1×1＝1（立方分米）
答：这个正方体的表面积是6平方分米，体积是1立方分米。
故答案为：6，1。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2021秋•无为市期末） 4 个111是411，再加上 7 个111是1。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【分析】把一个整体平均分成11份，其中的1份就是111，4份就是411，所以4个111就是411；1就是11个111，4个111再加上7个111才是1111，由此求解。
【解答】解：4个111是411，再加上7个111是1。
故答案为：4，7。
【点评】解决本题关键是明确分数的意义，找清楚有几个111。
12．（2021秋•南关区期末）圆 是 （是或不是）轴对称图形，有 无数 条对称轴。
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【专题】几何直观．
【分析】根据轴对称图形的意义，圆是轴对称图形，它的每条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条直径，因此，一个圆有无数条对称轴。
【解答】解：圆是轴对称图形，有无数条对称轴。
故答案为：是，无数。
【点评】此题考查的知识点：轴对称图形的意义、圆的特征。
13．（2019•青岛开学）请将正确的序号写在横线上 ① ．
①长方形有两条对称轴；
②大于90°的角都是钝角；
③平行四边形是轴对称图形．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置；轴对称图形的辨识；角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；图形与变换；几何直观．
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴；依据轴对称图形的定义即可作答。
【解答】解：①长方形有两条对称轴，说法正确；
②大于90°而小于180°的角是钝角，所以本选项说法错误；
③平行四边形不是轴对称图形，也就没有对称轴；
故答案为：①。
【点评】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置。
14．59与 49 的和是最小的自然数，110+13的和的分数单位是 130 ．
【考点】分数的加法和减法．
【专题】文字叙述题．
【分析】最小的自然数是1，用1减去59即可；
先求出110+13的和，再根据一个分数的分数单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一，据此解答即可．
【解答】解：1−59=49
110+13=330+1030=1330
答：59与49的和是最小的自然数，110+13的分数单位是130．
故答案为：49，130．
【点评】此题主要考查了最小的非零自然数是1，也考查分数的单位：把单位“1”平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位．
15．有一批零件，其中有1个是次品（质量轻一些），现用天平进行称量，至少称几次就能保证找出这个次品？
①从6个零件中找出1个次品，至少称 2 次就能保证找出这个次品．
②从25个零件中找出1个次品，至少称 3 次就能保证找出这个次品．
【考点】找次品．
【专题】优化问题；推理能力；应用意识．
【分析】①把6个零件分成（2，2，2）三组，天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
②把25个零件分成（5，5，5）三组，天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；把有次品的一组2个分成（2，2，1），天平两端各放2个，如果平衡，次品就是未称的1个，如果不平衡，次品在轻的那一组；把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
【解答】解：①把6个零件分成（2，2，2）三组
称第一次：天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；
第第二次：把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
从6个零件中找出1个次品，至少称2次就能保证找出这个次品．
②把25个零件分成（5，5，5）三组
称第一次：天平两端各放一组，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一组；
称第二次：把有次品的一组2个分成（2，2，1），天平两端各放2个，如果平衡，次品就是未称的1个，如果不平衡，次品在轻的那一组；
称第三次：把有次品的一组2个，天平两端各放1个，轻的1个为次品．
从25个零件中找出1个次品，至少称3次就能保证找出这个次品．
故答案为：2，3．
【点评】用平衡找次品的关键是把被检测的物品进行合理分组，分组不同，称的次数也会不同．
三．判断题（共5小题）
16．一个数的最小因数和最大倍数都是它本身． √ （判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身，一个数的倍数是无限的，最小是它本身，没有最大倍数，据此解答．
【解答】解：一个数的最小因数和最大倍数都是它本身，说法正确；
故答案为：√．
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身．
17．29是质数，它的因数也都是质数。 × （判断对错）
【考点】合数与质数．
【专题】数的整除；数感．
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此解答。
【解答】解：29是质数，29的因数有1和29，其中1不是质数，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了质数与因数的意义的综合应用。
18．（2019秋•蓝山县期末）因为3.6÷6＝0.6，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数． × （判断对错）．
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数的整除；数感．
【分析】要注意，只有在除法算式中，除数和被除数都是整数的情况下才能讨论倍数和因数的概念．
【解答】解：因为3.6÷6＝0.6，因为3.6和0.6是小数，所以3.6是6的倍数，6是3.6的因数，说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题是基本概念问题，主要考查约数与倍数的意义，倍数和约数两者都只能是整数，不能是小数．
19．（2018春•漳平市校级期末）凡是8的倍数也一定是2的倍数． √ ．（判断对错）
【考点】2、5的倍数特征．
【专题】综合判断题；数的整除．
【分析】根据因数与倍数的意义，如果甲数的乙数的倍数，那么乙数是甲数的因数，据此判断即可．
【解答】解：因为8是2的倍数，所以8的倍数一定是2的倍数．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数之间的关系及应用．
20．正方形有四条对称轴，平行四边形有一条对称轴． × （判断对错）
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置；轴对称图形的辨识．
【专题】平面图形的认识与计算．
【分析】正方形有4条对称轴，过对边中点的直线和对角线所在的直线；根据轴对称图形的意义，平行四边形不属于轴对称图形．
【解答】解：正方形有 4条对称轴．平行四边形不是轴对称图形．
所以原题的说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题是考查轴对称图形的意义、正方形、平行四边形的特征等．
四．计算题（共2小题）
21．（2020春•三台县期中）求下面各图形的表面积和体积．（单位：分米）
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答．
（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．
（3）由于正方体和长方体粘合在一起，所以在计算表面积时，长方体只求上下、前后4个面，正方体计算它的表面积，它的体积等于正方体与长方体的体积和．据此解答．
【解答】解：（1）12×6×2+12×3.5×2+6×3.5×2
＝144+84+42
＝270（平方方米）
12×6×3.5＝252（立方分米）
答：这个长方体的表面积是270平方分米，体积是252立方分米．
（2）7×7×6＝294（平方分米）
7×7×7＝343（立方分米）
答：这个正方体的表面积是294平方分米，体积是343立方分米．
（3）2×2×6+3×1×2+3×2×2
＝24+6+12
＝42（平方分米）
2×2×2+3×2×1
＝8+6
＝14（立方分米）
答：它的表面积是42平方分米，体积是14立方分米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
22．我会算。
26+36=
27+57=
210+110=
49+59=
58−38=
44−22=
1−413=
1−515=
【考点】分数的加法和减法．
【专题】计算题；运算能力；应用意识．
【分析】根据同分母分数加减法的计算法则，分母不变，只把分子相加减。据此直接口算即可。
【解答】解：
26+36=56
27+57=1
210+110=310
49+59=1
58−38=28
44−22=0
1−413=913
1−515=1015
【点评】此题考查的目的是理解掌握同分母分数加减法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力。
五．应用题（共4小题）
23．如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把两个完全一样的长方体物品形成一件大的包装物，有三种不同包装方法，要使打包后表面积最小，可以把两个长方体物品的最大面重合在一起．拼成一个长8厘米，宽7厘米，高（3×2）厘米的长方体，据此解答．
【解答】解：有三种不同的包装方法，可以把两个长方体物品的上下面重合在一起；也可以把两个长方体物品的前后面重合在一起；还也可以把两个长方体物品的左右面重合在一起；把两个长方体物品上下面重合在一起拼成一个长8厘米，宽7厘米，高（3×2）厘米的长方体，表面积最小．
答：有三种不同的包装方法，把两个长方体物品的最大面重合在一起表面积最小．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．
24．（2019秋•龙州县期末）做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？
【考点】长方体的特征．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：（12+9+6）×4
＝27×4
＝108（厘米）
答：至少需要108厘米的木条．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
25．在一个长15厘米．宽8厘米、高12厘米的长方体容器中放一个棱长为6厘米的正方体铁块，先装满水，再把铁块取出，水面会下降多少厘米？（容器厚度不计）
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积即可．
【解答】解：6×6×6÷（15×8）
＝216÷120
＝1.8（厘米）
答：水面会下降1.8厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
26．把一根木料第一次截去310m，第二次截910m，还剩310m，这根木料原来长多少米？
【考点】同分母分数加减法．
【专题】数据分析观念；应用意识．
【分析】根据把两次截去的长度加上剩下的长度就是原来的长度。据此解答。
【解答】解：310+910+310=32（米）
答：这根木料原来长32米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握分数加法的计算法则及应用。
六．操作题（共1小题）
27．（2020春•万州区期中）按要求画一画。
前面看到的形状；左面看到的形状；上面看到的形状。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【分析】这个立体图形由8个相同的小正方体组成。从前面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层3个，左齐；从左面能看到4个相同的小正方形，分两层，每层2个，呈“田”字形；从上面能看到6个相同的小正方形，分两层，每层2个，上下齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
考点卡片
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数． × ．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小． × ．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是 1：2＝3：6 ．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数． × ．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是 120 ．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． × ．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
5．2、5的倍数特征
2、5的倍数特征
6．分数的意义和读写
【知识点归纳】＜BR＞分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．＜BR＞在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．＜BR＞分数的分类：＜BR＞（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．＜BR＞（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．＜BR＞带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）＜BR＞A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长＜BR＞分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．＜BR＞解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3−34=214（米）；＜BR＞第二根剪去34，剩下的长度是3×（1−34）=34（米）．＜BR＞所以第一根剩下的部分长．＜BR＞故选：A．＜BR＞点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
7．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
8．同分母分数加减法
同分母分数加减法
9．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6−13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）−38
解：（34+56）−38，
=34−38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
10．找次品
【知识点归纳】
次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．
方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品．
【命题方向】
常考题型：
例：有15盒饼干，有14盒重量达标，其中有1盒少10克的混在里面．现在用天平称，至少称几次才能把不合格的那一盒找出来？
分析：第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干，据此即可解答．
解：至少称三次才能把不合格的那一盒找出来，
第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干．
点评：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取饼干的盒数．
11．角的概念和表示
角的概念和表示
12．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
13．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
14．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
15．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
16．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
17．确定轴对称图形的对称轴条数及位置
【知识点归纳】
1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．
2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．
3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．
【命题方向】
常考题型：
例：下列图形中，（ ）的对称轴最多．
A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形
分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择．
解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，
两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有3条对称轴；
（3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰梯形是轴对称图形，
上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有1条对称轴；
（4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，
任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
所以说圆的对称轴最多．
故选：D．
点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征．
例2：下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形．
解：A：根据它的组合特点，它有4条对称轴；
B：这是一个正八边形，有8条对称轴；
C：这个组合图形有3条对称轴；
D：这个图形有5条对称轴；
故选：B．
点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴．
18．轴对称图形的辨识
【知识点归纳】
1．轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．
【命题方向】
常考题型：
例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图形；
图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对称图形．
如图的交通标志中，轴对称图形有2个．
故选：C．
点评：此题主要考查轴对称图形的定义．
19．三视图与展开图
【知识点归纳】
三视图怎么看：
1．从正面看，为主视图
2．从侧面看，为左视图
3．从上面看，为俯视图
展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形
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