第三章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算（教师版+学生课时教案+课时作业+配套PPT）

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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.
1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ；
[cf(x)]′＝ .
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(4)(cs 2x) ′＝－2sin 2x.(　　)
1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3xln 3＋2cs 2x.
又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于D，(2x＋cs x)′＝(2x)′＋(cs x)′＝2xln 2－sin x，故D正确.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于A.1　　　B.－9　　　C.－6　　　D.4
因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cs(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cs(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；
f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.
命题点1　求切线方程例2　(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为A.4ex－y＋e2＝0 B.4ex－y－e2＝0C.4ex＋y＋e2＝0 D.4ex＋y－e2＝0
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝_____.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a) )，O为坐标原点，
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
跟踪训练2　(1)曲线f(x)＝ 在(0，f(0))处的切线方程为A.y＝3x－2 B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2 D.y＝－3x＋2
所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.
例4　(1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0 B.1C.e D.－e
设l与f(x)的切点为(x1，y1)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝ ＋(1－x1) .同理，设l与g(x)的切点为(x2，y2)，
因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.
(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是
令g(x)＝2x2－x2ln x，则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝ ，
当x∈(0， )时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈( ，＋∞)时，g′(x)0，∴x0＝1，m＝5.
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条 B.1条C.2条 D.3条
根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m) ，即y＝emx＋em(1－m)－1，
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.
1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为A.y＝3x＋3 B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3
因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.
2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.－1
因为f(x)＝exsin 2x，则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cs 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cs 0)＝2.
3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝ ＋2，那么f(1)＋f′(1)等于A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
4.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为A.－2　　　B.2　　　C.－e　　　D.e
设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn).
6.(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是A.g(x)＝x·2xB.g(x)＝－ex－2xC.g(x)＝ln xD.g(x)＝sin x＋2cs x
对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cs x－2sin x，由sin x＋2cs x＝cs x－2sin x，得3sin x＝－cs x，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.
7.写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝ 　　　　　　 .
ln x(答案不唯一)
若函数f(x)＝ln x，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；
8.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝_____.
由题意得，f′(x)＝x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)＋(x－3)[x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)]′，所以f′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12.
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.(1)求f′(e)及f(e)的值；
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线.(1)若x1＝－1，求a；
当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0).由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.
(2)求a的取值范围.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1).
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞).
11.已知曲线y＝ex在点(x1， )处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于A.－1 B.－2C.1 D.2
已知曲线y＝ex在点(x1， )处的切线方程为y－ ＝　 (x－x1)，即y＝　x－　 x1＋　 ，
解得x2＝ ，
－ x1＝－1＋ln x2
＝－1＋ ＝－1－x1，
又x2＝ ，
所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.
因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，
则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)