第三章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]（教师版+学生课时教案+课时作业+配套PPT）

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函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
命题点1　利用f(x)与x构造
例1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>b
因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)2f(x)，即当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以x∈(－1,0)∪(0,1).
命题点2　利用f(x)与ex构造例2　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)2 023ex的解集为A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C. D.(－∞，1)
因为f′(x)－f(x)3e3－x的解集为___________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
命题点3　利用f(x)与sin x，cs x构造
即g(x)也是偶函数.
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
设φ(x)＝f(x)·sin x，则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x，∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)2b B.ab2 D.a0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数.
跟踪训练4　(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cs α，则A.sin α>sin β B.cs α>cs βC.cs αcs β
∴cs βcs α.
(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae　　　B.b>ea　　　C.ab0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
令函数g(x)＝ln x·f(x)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
由题意可知，m>0，n>0，则ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，构造函数f(x)＝2x2－x＋ln x，其中x>0，
故A对，B错，无法判断C，D选项的正误.
7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)ef(1)B.ef(2)>f(1)，f(2)