13.5逆命题与逆定理 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）
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第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是
( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
2.下面命题中，为真命题的是( )
A. 三角形的一个外角大于它的任意一个内角
B. 内错角相等
C. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
D. 弧长相等的弧是等弧
3.如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为
A. B. C. D.
4.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交边于点若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.下列四个命题：直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；角平分线上的点到角两边的距离相等；过一点有且只有一条直线与这条直线平行；如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.下列命题中是真命题的是( )
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和
D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
7.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知直线，相交于点，平分，，那么的度数等于( )
A. B. C. D.
9.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，垂直平分若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，，则的周长为______．
12.如图，在中，，平分，，，则的面积为______．
13.如图，在中，，是的垂直平分线若，与的长度之比为，则 ．
14.分如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，，若，则的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，在等边三角形的三边上，分别取点、、，使．
求证：是等边三角形．
如图，等边三角形三边的垂直平分线交于点，分别交，，于点、、，试说明点也是三边垂直平分线的交点．
16.本小题分
如图，是平角，是射线，平分，平分，求的度数．
17.本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
尺规作图保留作图痕迹，不写作法：过点作的垂线，交于点，连接．
猜想中与的数量关系，完成下列证明：
是的垂直平分线，
______ ，
，
，
，
______ ，
又在中，，
，
，
______ ，
又
______ ．
18.本小题分
直线、相交于点，平分，射线于点，且，求的度数．
19.本小题分
如图，是直线上的一点，是直角，平分．
若，则______，______；
将图中的绕顶点顺时针旋转至图的位置，其他条件不变，若，求的度数用含的式子表示；
将图中的绕顶点顺时针旋转至图的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系：______不用证明
20.本小题分
如图，，，三点在同一直线上，与互补．
与的度数相等吗，为什么？
已知平分，若射线在的内部，且满足与互余；
，求的度数；
试探究与之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】
解：观察图形可知点在的角平分线上，点到两边距离相等．
故选A
2.【答案】
【解析】解：三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角，故A选项不符合题意；
两直线平行，内错角相等，故B不符合题意；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故C符合题意；
在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义判断求解即可．
此题考查了命题与定理，熟记三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是运用线段垂直平分线的性质．
由是的垂直平分线，得，，再由，则可求出的周长．
【解答】
解：是的垂直平分线，
，，
，
，
的周长为，
，
，，
，
的周长为．
故选B．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握点到直线距离定义、平行线公理、垂线定义等知识．根据点到直线距离的定义、角平分线的性质、平行线公理、垂线定义等逐项判断．
【解答】
解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故是假命题；
角平分线上的点到角两边的距离相等，故是真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故是假命题；
如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故故是假命题．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．利用全等三角形的判定方法对进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对进行判断；根据三角形外角性质对进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对进行判断．
【解答】
解：、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以选项为假命题；
B、如图，已知，，分别平分，，，交于点，
求证：．
证明：，
两直线平行，同旁内角互补，
、分别是平分，，
，
，
，
，
两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以选项为真命题；
C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以选项为假命题；
D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以选项为假命题．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长
，
故选：．
用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：平分，，
，
．
故选：．
根据角平分线的定义可得，然后根据对顶角相等解答即可．
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
，
故选：．
根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：垂直平分，若，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了线段中垂线的性质：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：的垂直平分线分别交，于点，，
，，
，
，
的周长为，
，
，
的周长，
故答案为．
利用线段的垂直平分线的性质证明的周长即可解决问题．
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为．
作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】根据角平分线的性质定理可得答案．
【解答】解： 是 的平分线 上一点， ， ，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
15.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理，
．
是等边三角形．
在等边三角形中，，
的垂直平分线交于点，
，
是的垂直平分线，
即，
同理：，，
平分，平分，平分，
，
是等边三角形 三边的垂直平分线的交点，
，
连接、、，
在和中，
，
≌，
同理，在和中，
，
≌，
，
是三边垂直平分线的交点．
【解析】由等边三角形可得，又因为，即可得出，根据可证明≌，故DF，同理可得，从而可得出结论；
在等边三角形中，易得是的垂直平分线，即平分，同理．平分，平分，则有，又根据等边三角形 三边的垂直平分线交于点，则，由已知条件，根据可证明≌≌，即，从而得出结论．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证明三角形的全等．
16.【答案】解：平分，，
，
是平角，
，
平分，
，
．
【解析】由角平分线的定义可得，，进而可得．
本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图：
即为所求；
，
理由：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，．
根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图；
根据等腰三角形底边上的高平分底边证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角的性质好判定是解题的关键．
18.【答案】解：于点，
，
，
，
平分，，
，
．
【解析】根据及，求得，再由平分，求得，最后由，求得的值．
本题考查了相交线相关的角度计算问题，熟练掌握角平分线的定义，补角的定义是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：是直线上的一点，是直角，，
．
，，
．
平分，
，
，
故答案为：，；
，
，
平分，
，
．
和的度数之间的关系：，理由：
设，
则，
平分，
，
，
，
．
利用平角的定义，角平分线的定义解答即可；
利用中的方法解答即可；
利用中的方法解答即可．
本题主要考查了角的定义，角平分线的的定义，旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
20.【答案】解：，
因为与互补，
所以，
因为，
所以；
因为与互余，
所以；
，
理由如下：
因为平分，
所以，，
因为与互余，
所以，
因为，
所以，
因为与互补，
所以，
所以，
又因为，
所以
．
所以．
【解析】根据补角的性质即可求解；
根据余角的定义解答即可；
，根据角平分线的定义以及补角与余角的定义，分别用的代数式表示出与即可解答．
本题主要考查了余角、补角的性质，角的计算，角的平分线，正确推导出角之间的和差倍分关系是解题的关键．
