14.1勾股定理 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

14.1勾股定理华东师大版初中数学八年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

2.如图，在等腰三角形中，，，是外一点，点到三边的垂线段分别为，，，且，则的长为
(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.现已知线段，，，求作，使得，，小惠和小雷的作法分别如下：
小惠：以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点，连接，即为所求．
小雷：以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点，连接，即为所求．
则下列说法中正确的是(    )

A. 小惠的作法正确，小雷的作法错误 B. 小雷的作法正确，小惠的作法错误
C. 两人的作法都正确 D. 两人的作法都错误

4.在中，，，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

5.在锐角三角形中，已知，，则的长为
(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.早在公元前年，我国古算书周髀算经就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理勾股定理如图，分别以的各边为边在的上方作正方形已知为大于的常数，，若图中的两个阴影三角形全等，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点，，都在格点上，已知是边的中点，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.已知，，，，点是上一个动点，则线段长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.在中，，，，，分别是和边上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.在中，，，高，则的周长是          ．

12.周髀算经是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的倍，设，，那么 ______ 用，表示

13.如图，在等腰中，，点是内一点，且，，，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，下列结论：点与点的距离为；；；；点到的距离为，其中正确结论有______ ．

14.如图，六边形是的内接正六边形，分别以点、为圆心，长为半径作弧，在外交于点，连接若的半径为，则的长度为          ．
 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

在中，，于点，若，，求和的长．

16.本小题分
在平面直角坐标系中，点，若为轴上的一个动点，则的最小值为          ．

17.本小题分

如图，以的每一条边为边作三个正方形已知这三个正方形构成的图形中，深色阴影部分的面积与浅色阴影部分的面积相等，则是直角三角形吗请证明你的判断．

18.本小题分
如图，每个小正方形的边长为，规定每个小正方形的顶点为格点，已知点、、都在格点上．
线段、的位置关系是______ ．
线段、的数量关系是______ ；
只用直尺在网格中过点画线段且；
连接、，的面积等于______ ．

19.本小题分

如图，已知在中，于，，，．

求的长；

求的长；

判断的形状．

20.本小题分

如图，在四边形中，，，且，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到，
，
，
是等边三角形，
，
，，
．
故选：．
由旋转的性质及可得是等边三角形，从而，则由计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】略

3.【答案】 

【解析】解：由题意，，是斜边，小惠作的斜边长是符合条件，而小雷作的是一条直角边长是．
故小惠的作法正确，小雷的作法错误．
故选：．
根据作图要求一一判断判断即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，明确作图要求，属于中考常考题型．

4.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，，
．
故选：．

直接根据勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．注意：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

5.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系定理得
，
即，
当时，，
当时，
是锐角三角形，
所以，
故选：．
分析：
根据勾股定理可得的取值范围．
此题主要考查了三角形的三边关系及勾股定理，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

6.【答案】 

【解析】解：如图，


由勾股定理可得：，，
正方形、、的面积依次为、、，
，
．
故选：．
根据勾股定理的几何意义：，，从而可得答案．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

7.【答案】 

【解析】解：

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
两个阴影三角形全等，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由条件可以证明≌，再由两个阴影三角形全等，即可求出的长，由求出的长，即可求出．
本题考查全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，关键是证明≌，求出的长．

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
是边上的中线，
，
故选：．
根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
首先判断的形状，再利用三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：，，，，
是直角三角形，当时，最小，
线段长的最小值是：，
解得：故选A．

10.【答案】 

【解析】略

11.【答案】或 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理的应用与分类讨论是解题关键分为锐角三角形时和钝角三角形时解答即可．
【解答】
解：此题应分两种情况说明：
如图，当为锐角三角形时，
在中， ，
在中， ，，
，
的周长为
如图，当为钝角三角形时，
同理，在中， ，
在中，，
．
的周长为．
综上所述，的周长是或．

12.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形、四边形都是正方形，
、共线，
，，
，
大正方形的面积是小正方形面积的倍，
，
由图可得，
，
，
故答案为：．
连接、，则、共线，先求出，由已知可知，由图可得，再求，则．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的定义，正方形的性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

在等腰中，，，
在等腰中，，，
，
在与中，
，
≌，
，
故选项正确；
，
根据勾股定理，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故选项正确；
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
故选项不正确；
，
故选项正确；
设点到的距离为，
，
，
故选项不正确，
综上所述，正确的有，
故答案为：．
连接，可证≌，进一步可得，即可判断选项；根据勾股定理逆定理可知是等腰直角三角形，可知，进一步可知，即可判断选项；在中，根据勾股定理求出的长即可判断选项；根据计算即可判断选项；根据，求出点到边的距离，从而可判断选项．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】如图，连接、、、，过点作于点．，易得，，，，，．，．

15.【答案】解：在中，，
，
，，
由勾股定理得：，
设，，
则，
由得：，
把代入得：，
解得：或舍，
，． 

【解析】先根据勾股定理计算的长，设，，根据面积和勾股定理列方程组，整体代入可得结论．
此题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是关键，并利用整体思想解方程组．

16.【答案】 

【解析】略

17.【答案】是证明略 

【解析】略

18.【答案】垂直     

【解析】解：，，，
≌，
，，
由网格线知，
，
，
，
线段、的位置关系是垂直，
故答案为：垂直，；
线段如图所示；

的面积等于；
故答案为：．
证明≌，推出，，即可得到结论；
利用网格的特点作出图形即可；
利用分割法即可求解．
本题考查作图应用与设计，熟练掌握平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

19.【答案】解：在中，因为，
所以．
所以．
所以．
在中，因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
因为，，
所以．
所以是直角三角形． 

【解析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，熟知定理是解答此题的关键．
在中，根据勾股定理求出的长；
在中，根据勾股定理求出的长，故可得出的长；
由勾股定理的逆定理即可得出结论．

20.【答案】 

【解析】略