福建省龙岩市上杭县第四中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

上杭四中2023—2024学年第一学期10月质量监测

九年级数学科试题

考试时间：120分钟；满分：150分

一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．              B．

C．              D．

2．一元二次方程的根是（    ）

A．x=2；    B．x=-2；   C．；    D．

3．把抛物线向上平移1个单位长后所得的抛物线的解析式是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．用配方法解方程时，那么原方程可化为（    ）

A．     B．    C．        D．

5．下列关于二次函数图象的叙述，其中错误的是（    ）

A．开口向下              B．对称轴是直线x=2

C．此函数有最小值是1     D．当x＞2时，函数y随x增大而减小

6．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，由题意所列方程正确的是（    ）

A．    B．   

C．    D．

7．设点A、B（1，）、C（2，）是抛物线上的三点，则的大小关系正确的是（    ）

A．；    B．；   C．；   D．

8．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ）

A．k≥-1且k≠0    B．k≥-1    C．k＞-1且k≠0    D．k＞-1

9．如图，在Rt△ABC中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为（    ）

A．；     B．或；      C．或；      D．或；

10．如图，一次函数与二次函数的图象交于P，Q两点，则函数的图象可能是（    ）

A．                        B．

C．                        D．

第II卷（非选择题）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）

11．点A关于原点O的对称点A’的坐标为___________．

12．   抛物线y=2（x-1）2+3的对称轴是直线___________．

13．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________．

14．在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标为A（2，1），O（0，0），B（2，0），将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△A’OB’，则点A’的坐标为________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC，BC的长分别是方程的两个实数根，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长为_______．

16．二次函数的部分图象如图，抛物线与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②3a+2b＞0；③对于任意实数，都有成立；④方程一定有两个不相等的实数根，且两根和为2．其中正确的结论有___________．（填写正确的序号即可）

三．解答题：（本大题共9小题，共86分）

17．解下列方程：（每小题4分，共8分）

1）．                    2）．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1）．B（1，﹣2），C（3，﹣3）．

1）．画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；

2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；

19．（8分）已知二次函数．

1）．画出函数的图象．

①．把下表补充完整：

②．在右边所给的直角坐标系中，画出此函数图象

2）．根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程．

1）．求证：无论m取任意实数，此方程总有两个不相等的实数根；

2）．若x=2是此方程的一个根，求m的值．

21.（8分）四中校门对面的果叔店新进一种水果，进价为20元/千克，为了摸清市场行情，决定试营销一周，店家通过这7天销售情况发现：销售价m元/千克与销售天数x的关系是m=40-x；每天销售量n千克与销售天数x的关系是n=24+2x，设销售该水果每天利润为y（元）

1）．若某天销售该水果的利润为510元，请问它是试营销的第几天？

2）．求y与x的函数关系式，并求出试营销该水果期间一天的最大利润是多少元？

22．（10分）1）．基础应用：

已知一元二次方程．①若x=m是该方程的一根，则=______；

②设此方程的两个实数根为m，n，则代数式的值为______．

2）．拓展延申：

若实数m、n满足：，，且，求的值．

3）．能力提升：

若实数m，n满足：，且mn≠1，则： ．

23．（10分）中秋、国庆佳节将至，为迎接“双节”到来，在拱桥中设计悬挂景观灯．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5），已知点A的坐标为（-5，0）．

1）．求抛物线的解析式；

2）．如图1，若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线AC距离的最大值；

3）．若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段CA绕点C旋转，得到线段CD，连接AD、BD．

1）．如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转，则∠ADB的度数为_____________；

2）．将线段CA绕点C顺时针旋转，

①．如图2，求∠ADB的度数；

②．如图3，若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．

初三（上）数学第一次月考试题

参考答案及评分细则

一．选择题（每小题4分，共40分）

二．填空题（每小题4分，共24分）

11．    12．    13．    14．    15．（或2．4）    16．①④

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17．解：（1）．            2分

或

                4分

（2）．            2分

            4分

18．画出的图形如右图所示

评分细则：完全画对一个给4分

两个所画图形正确给8分

19．（1）每个空格各0．5分，共2分

画出图象如右图所示                6分

（2）．答案：                8分

20．解：（1），

∴无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；            4分

（2）把代入方程中，

，

解得：;

即：的值为2或1                    8分

21．解：（1）依题意得：                2分

化简得：

解得：；．               3分

答：它是试营销的第3或5天                    4分

（2）依题意得：，即：             6分

配方得：

    ∴当时，有最大值为512            7分

∴试营销期间一天的最大利润是512元            8分

22．（1）．答案：2023；13            每个各1分，共2分

（2）解：由满足，且可知：是方程的两根                4分

∴由韦达定理得：

            6分

                    7分

（3）答案：1                    10分

23．解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则项点为，且过点，

设抛物线的解析式为：，

把点代入得：，

，

∴抛物线的函数表达式为：                    3分

               图1

任务2：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，

∴当悬挂点的纵坐标

即悬挂点的纵坐标的最小值是                5分

当时，，

，

∴悬挂点的横坐标的取值范围是：            7分

任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，

，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，

∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，

若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，

∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，

∵灯笼挂满后成轴对称分布，

∴共可挂7盏灯笼，

∴最左边一盏灯笼的横坐标为：；

                  图2

方案二：如图3，若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，

若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，

∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，

∵灯笼挂满后成轴对称分布，

∴共可挂8盏灯笼，

∴最左边一盏灯笼的横坐标为：．

                     图3

评分细则：参考解答提供了两种方案，而学生只需给出其中一种方案均可得3分，其它不同解答见下：

按如上图示建立平面直角坐标系的考生解答，参考答案如下：（从左至右依次记为①、②、③）

①任务1：         任务2：       任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，两侧各可悬挂3盏，计盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：；方案二：从顶点的两侧对称悬挂，各可悬挂4盏计8盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：

②任务1：    任务2：    任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，两侧各可悬挂3盏，计盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：；方案二：从顶点的两侧对称悬挂，各可悬挂4盏计8盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：

③任务1：    任务2：    任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，两侧各可悬挂3盏，计盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：；方案二：从项点的两侧对称悬挂，各可悬挂4盏计8盏，最左边一盏灯笼的横坐标为：

24．解：（1）∵点，点在抛物线的图象上，

∴抛物线的解析式为                3分

（2）过作于点，过点作轴交于点，如解图1：

，

是等腰直角三角形，

，

轴，

，

是等腰直角三角形，

，

∴当最大时，最大，

设直线解析式为，

将代入得，

，

∴直线解析式为，

设，则，

，

，

∴当时，最大为，

∴此时最大为，即点到直线的距离值最大                    9分

法2：过点作直线平行线，当此平行线与抛物线只有一个交点时，此时点到直线距离最大

法3：连接，当的面积最大时，点到直线的距离最大

备注：学生采用法2、法3及其它解法的，评卷时类同法1酌情给分！

（3）存在，满足条件点的坐标为：或或．               12分（每个各1分）

25．（1）答案：                2分

（2）①由旋转易得：，

，

，

；                6分

②．               8分

证明：过点作，交的延长线于点，

平分，

垂直平分，

，

由①知，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．               14分

备注：第（2）、（3）小题采用其它解法的，评卷时类同参考解法酌情给分！