河南省郑州市管城区紫荆中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省郑州市管城区紫荆中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年河南省郑州市管城区紫荆中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
5．在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（　　）
A．15 B．12 C．9 D．4
6．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
7．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
9．盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字﹣1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，则函数y＝kx+b是增函数的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为（　　）

A．1 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　．
12．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是　 　．
13．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于　 　．

14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC，DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为AB上一点，AE＝2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解下列方程：
（1）2x（x+1）＝x+1；
（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．
（2）若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．求△ABC的周长．
18．为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为　 　人，参加球类活动的人数的百分比为　 　；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校学生共1600人，那么参加棋类活动的大约有多少人？
（4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别F，G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．

19．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
20．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．

21．如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．

22．如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，动点F在BC的垂直平分线DG上从D点出发，以1cm/s的速度向左匀速移动，DG交BC于D，交AB于E，连接CE，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝6s时，求证：△ACE≌△EFA．
（2）填空：
①当t＝　 　s时，四边形ACDF为矩形；
②在（1）的条件下，当∠B＝　 　时，四边形ACEF是菱形．

23．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．



参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故A错误；
B、ax2+bx+c＝0，a＝0时是一元一次方程，故B错误；
C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故C正确；
D、+﹣2＝0是分式方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】A、根据正方形的判定方法进行判断；
B、根据平行四边形的判定方法判断即可；
C、根据平行四边形的判定方法判断即可；
D、根据菱形的判定方法进行判断．
解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．
B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．
C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
3．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
【分析】由菱形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A．菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，
C．菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，
D．菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质以及轴对称图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
∴DE＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5．在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（　　）
A．15 B．12 C．9 D．4
【分析】红球的个数为3，而摸到红球的频率稳定在20%，据此即可求得a的值．
解：根据题意，球的总个数a约为3÷20%＝15（个），
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
解：∵关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m＝，
解得，m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．
7．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵Δ＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字﹣1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，则函数y＝kx+b是增函数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及满足k＞0的结果数，再利用概率公式可得出答案
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中满足k＞0的结果有：（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），共6种，
∴函数y＝kx+b是增函数的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数的图象与性质，熟练掌握列表法与树状图法以及一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM＝CM，
∴BC＝3CM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　m＜且m≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝．
故答案为：
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于　　．

【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC，DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 　　．

【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝4＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝2，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为AB上一点，AE＝2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为　4或4　．

【分析】①当AF＜AD时，由折叠的性质得到A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH＝AE＝2，根据勾股定理得到A′H＝＝，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞AD时，由折叠的性质得到A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH＝AG，HG＝AD＝6，根据勾股定理即可得到结论．
解：①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，
设MN是BC的垂直平分线，
则AM＝AD＝3，
过E作EH⊥MN于H，
则四边形AEHM是矩形，
∴MH＝AE＝2，
∵A′H＝＝，
∴A′M＝，
∵MF2+A′M2＝A′F2，
∴（3﹣AF）2+（）2＝AF2，
∴AF＝2，
∴EF＝＝4；
②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，
设MN是BC的垂直平分线，
过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
则四边形AGHD是矩形，
∴DH＝AG，HG＝AD＝6，
∴A′H＝A′G＝HG＝3，
∴EG＝＝，
∴DH＝AG＝AE+EG＝3，
∴A′D＝＝6，
∴A′D＝A′F，此时D与F重合，
∴EF＝＝4，
综上所述，折痕EF的长为4或4，
故答案为：4或4．


【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解下列方程：
（1）2x（x+1）＝x+1；
（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先整理成一般式，再利用配方法求解即可得．
解：（1）∵2x（x+1）＝x+1，
∴2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（2x﹣1）＝0，
则x+1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝0.5；

（2）方程整理，得：x2+10x+23＝0，
∴x2+10x＝﹣23，
则x2+10x+25＝﹣23+25，即（x+5）2＝2，
∴x+5＝±，
∴x1＝﹣5+，x2＝﹣5﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．
（2）若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．求△ABC的周长．
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式求出x1＝k+1，x2＝k，讨论：当k+1＝5，解得k＝4，三角形三边为5、5、4，当k＝5，三角形三边为5、5、6，然后分别计算三角形的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）
＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根；
（2）x＝，
所以x1＝k+1，x2＝k，
当k+1＝5，解得k＝4，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为5+5+4＝14；
当k＝5，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为5+5+6＝16；
综上所述，△ABC的周长为14或16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
18．为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为　7　人，参加球类活动的人数的百分比为　30%　；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校学生共1600人，那么参加棋类活动的大约有多少人？
（4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别F，G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．

【分析】（1）先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数，用球类人数除以总人数可得其所占百分比；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）总人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
解：（1）本次调查的总人数为10÷25%＝40（人），
∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%＝7人，参加球类活动的人数的百分比为×100%＝30%，
故答案为：7、30%；

（2）补全条形图如下：


（3）该校学生共1600人，则参加棋类活动的人数约为1600×＝280，
故答案为：280；

（4）画树状图如下：

共有12种情况，选中一男一女的有6种，
则P（选中一男一女）＝＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出3件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
（2）①根据总利润＝每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
②根据每天通过销售该工艺品面捐款的数额＝0.5×每天销售的数量，即可得出结论．
解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．
（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．
答：该商品的售价为30元/件．
②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
【点评】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．

【分析】根据直线l4、l5被平行线l1，l2，l3所截，截得的对应线段的长度成比例进行解答．
【解答】证明：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9，
∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
21．如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．

【分析】（1）根据划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝2，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为AD＝b，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得a与b的关系式．
解：（1）不相似．理由如下：
∵原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4，
∴划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝6÷3＝2，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，
∴划分后小矩形的长为AD＝b，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即a2＝3b2．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，动点F在BC的垂直平分线DG上从D点出发，以1cm/s的速度向左匀速移动，DG交BC于D，交AB于E，连接CE，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝6s时，求证：△ACE≌△EFA．
（2）填空：
①当t＝　4　s时，四边形ACDF为矩形；
②在（1）的条件下，当∠B＝　30°　时，四边形ACEF是菱形．

【分析】（1）根据垂直平分线的性质找出∠BDE＝∠BCA＝90°，进而得出DE∥AC，再根据三角形中位线的性质可得出DE的长度，根据边与边之间的关系可得出EF＝AC，从而可证出四边形ACEF是平行四边形，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据矩形的性质可得出DF＝AC，再根据运动时间＝路程÷速度即可得出结论；
②根据垂直平分线的性质可得出BE＝EC＝AB，再根据菱形的性质可得出AC＝CE＝AB，利用特殊角的正弦值即可得出∠B的度数．
【解答】（1）证明：当t＝6时，DF＝6cm．
∵DG是BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝∠BCA＝90°，
∴DE∥AC，DE为△BAC的中位线，
∴DE＝AC＝2．
∵EF＝DF﹣DE＝4＝AC，EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF＝CE，AC＝EF，
在△ACE与△EFA中，，
∴△ACE≌△EFA；
（2）解：①∵四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝4，
∵动点F从D点出发以1cm/s的速度移动，
∴t＝4÷1＝4（秒）．
故答案为：4；
②∵DG是BC的垂直平分线，
∴BE＝EC＝AB，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AC＝CE＝AB，
∴sin∠B＝＝，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及矩形的性质，解题的关键是根据平行四边形（菱形或矩形）的性质找出相等的边角关系．
23．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【分析】（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，
∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝BC•＝4．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．