2022-2023学年湖南省怀化市市直初中七年级（下）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年湖南省怀化市市直初中七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.已知是方程的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.如图，直线，被直线，所截．下列条件能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.物美超市试销一批新款衬衫，一周内销售情况如下表所示，超市经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量应该是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

7.如图，已知，，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.二元一次方程的非负整数解有组．(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置若，则是(    )

A.
B.
C.
D.

10.我国古代孙子算经卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，求人数和车数下列方案中
设车数为辆，列方程为：．
设人数为人，列方程为：．
设车数为辆，人数为人，列方程组为：．
设人数为人，车数为辆，列方程组为：．
正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.分解因式： ______ ．

12.计算： ______ ．

13.我校规定学生的英语成绩由三部分组成：听力成绩语言表达成绩和笔试成绩，小明这三碗的成绩依次为分、分、分，若这三项成绩按：：确定学生的英语成绩，那么小明的英语成绩是______ 分

14.如图，，，且三角形的面积为，则点到的距离是______．

15.若是一个完全平方式，则的值为______ ．

16.已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程组：
；
．

18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．

19.本小题分

学习完第五章相交线与平行线后，王老师布置了一道儿何证明题如下：“如图，已知直线，被直线所截，平分，，求的度数．”善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并书写出了如下不完整的解题过程．请你将该题解题过程补充完整：
解：已知
______
______
邻补角的定义，
______等式性质
平分已知，
角平分线的定义
______等式性质
______等式性质

20.本小题分
如图，已知的顶点都在格点上，直线与网线重合每个小正方形的边长均为个单位长度．
画出关于直线对称的；
将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出；
画出绕点逆时针旋转后得到的．

21.本小题分
某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前名学生的成绩百分制分别为：八班，，，，；八班，，，，通过数据分析，列表如下：

直接写出表中，，的值：______，______，______；
求的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前名同学的成绩较好？说明理由．

22.本小题分
某同学在、两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是元，且英语学习机的单价比书包单价的倍少元．
求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市所有商品打折销售；超市全场购物满元返购物券元销售不足元不返券，购物券全场通用，但他只带了元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？

23.本小题分
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式如图，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形如图，图中阴影部分面积可表示为：，图中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．

【拓展探究】图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
用两种不同方法表示图中阴影部分面积：
方法：______ ，方法：______ ，可得到一个关于、、的等量关系式是______ ；
若，，则 ______ ；
【知识迁移】：
如图，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和．

24.本小题分
已知：如图，直线，点是，之间不在直线，上的一个动点．
若与都是锐角，如图，请直接写出与，之间的数量关系．
若小明把一块三角板如图放置，点，，是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数．
将图中的三角板进行适当转动，如图，直角顶点始终在两条平行线之间，点在线段上，连接，且有，给出下列两个结论：
的值不变；
的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，合并同类项法则、完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，合并同类项法则、完全平方公式，正确掌握运算法则和公式是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，
解得：，
故选：．
将方程的解代入原方程，然后解方程求的值．
本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：，选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；
选项，，所以该选项不符合题意；
选项，，符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【解答】
解：、当时，，故此选项不合题意；
B、当时，，故此选项不合题意；
C、当时，，故此选项不合题意；
D、当时，，故此选项符合题意；
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号卖的最多，因此关注众数，
故选：．
要了解哪种型号最畅销，就要关注哪种型号卖的最多，找出出现次数最多的数，因此关注众数．
本题考查平均数、众数、中位数、方差的意义和特点，理解各个统计量的特点是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
所以，
所以．
故选：．
先根据，，可得，根据平行线的性质可得，再根据对顶角的性质即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行计算是解决本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以非负整数解是：，，，共组，
故选：．
先用的代数式表示出，再求出非负整数解即可．
本题考查了二元一次方程的解，能用的代数式表示出是解此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质得到：，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由折叠的性质得到：，由平行线的性质得到，，求出，即可得到．
本题考查平行线的性质，折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设车数为辆，列方程为：，正确，符合题意；
设人数为人，列方程为：，正确，符合题意；
设车数为辆，人数为人，列方程组为：，原方程错误，不符合题意；
设人数为人，车数为辆，列方程组为：，正确，符合题意．
综上所述，正确的有．
故选：．
根据题目中的等量关系列出方程即可．
此题考查了一元一次方程与二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
逆用积的乘方法则计算即可．
本题考查了逆用积的乘方法则计算，灵活运用法则计算是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：小明的英语成绩分．
故答案为．
根据加权平均数的定义进行计算即可．
本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数其中．

14.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
的面积为，，
，
，
过作于，
，
，
点到的距离是，
故答案为．
先利用三角形的面积，求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到到的距离为．
本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行间距离处处相等是解决本题的关键．

15.【答案】或． 

【解析】解：完全平方式形如：，而是一个完全平方式
，
当时，，
当时，．
故答案为：或．
根据完全平方式的形式，找到即可求出的值．
本题考查完全平方式，把握完全平方的形式是解题关键，本题中推出求出的值即可．

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为
，个位数字为；，个位数字为
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，

，个位数字为；
；
，
的个位数字与的个位数字相同，都是，
的值的个位数字是．
故答案为：．
仿照阅读材料中的等式可得，再进一步得出的个位数字与的个位数字相同，都是，即得答案．
本题考查规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法．

17.【答案】解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以方程组的解是；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】把代入得出，求出，再把代入求出即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

18.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】先根据平方差公式和完全平方公式展开，计算得到最简结果，再代值计算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是关键．

19.【答案】同位角相等，两直线平行  两直线平行，同旁内角互补       

【解析】解：已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
邻补角的定义，
等式性质
平分已知，
角平分线的定义
等式性质
等式性质
故答案为：同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，，，．
根据平行线的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图轴对称变换、平移变换、旋转变换，熟练掌握轴对称、平移和旋转的性质是解答本题的关键．

21.【答案】     

【解析】解：八班的平均分，
将八班的前名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，第三个数是，所以中位数，
出现了次，次数最多，所以众数．
故答案为，，；

八班的方差．
由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
八班前名同学的成绩较好；
根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；
先根据方差计算公式，分别求出八班的方差，再结合平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可．
本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

22.【答案】解：方法一：
设书包的单价为元，则英语学习机的单价为元．
根据题意得，
解得．
．
答：该同学看中的英语学习机单价为元，书包单价为元．
方法二：
设书包的单价为元，英语学习机的单价为元．
根据题意，得，
解得，
答：该同学看中的英语学习机单价为元，书包单价为元．
在超市购买英语学习机与书包各一件，需花费现金：元．
因为，所以可以选择超市购买．
在超市可先花费现金元购买英语学习机，再利用得到的元购物券，加上元现金购买书包，
总计共花费现金：元．
因为，所以也可以选择在超市购买．
但由于，所以在超市购买英语学习机与书包，更省钱． 

【解析】本题中的相等关系是“英语学习机和书包单价之和是元”和“英语学习机的单价比书包单价的倍少元”，列方程组求解即可；
具体算出来后再比较选择．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

23.【答案】       

【解析】解：方法：，方法：，
，
故答案为：，；；
，，
，
故答案为：；
阴影部分面积和


，
，，
，
阴影部分面积和等于．
根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式；
根据完全平方公式变形求值即可求解．
根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

24.【答案】解：．
理由：如图，过作，
因为，
所以，
所以，，
所以．

因为，
所以，
由可得，，
所以，
所以；

结论的值不变是正确的，
设，则，
由可得，，
所以，
所以，
所以定值，
即的值不变，值为． 

【解析】过作，依据平行线的性质，即可得出；
根据中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论；
设，得到，再根据中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得的值不变．
本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．