2022-2023学年上海市青浦实验中学七年级（上）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年上海市青浦实验中学七年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.关于代数式，下列说法正确的是(    )

A. 的值一定是 B. 的值一定是
C. 当时，的值是 D. 当时，的值是

3.如果分式中的、的值都扩大为原来的倍，那么分式的值(    )

A. 不变 B. 扩大到原来的倍 C. 扩大到原来的倍 D. 扩大到原来的倍

4.下列分式方程中，解为的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.下列图形中，既是轴对图形又是中心对图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列说法中正确的是(    )

A. 如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形
D. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7.化简：           ．

8.单项式的次数是______ ．

9.如果单项式与是同类项，那么的值是______ ．

10.将代数式写成只含有正整数指数幂的形式： ______ ．

11.因式分解： ______ ．

12.已知，那么代数式的值是______ ．

13.如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值是        ．

14.已知，，则 ______ ．

15.纳米，符号：，即为毫微米，是长度单位，纳米米已知一根头发的半径约为纳米，用科学记数法应表示为______ 米

16.如图，三角形的周长为，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移到三角形的位置，则五边形的周长为______ ．

17.如图，四边形是长方形点、分别是边、上的任意点，连接、将三角形与三角形分别沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，当点、、恰好在同一直线上时， ______ 度

18.如果关于的分式方程无解，那么的值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
计算：．

20.本小题分
计算：．

21.本小题分
分解因式：．

22.本小题分
解方程：．

23.本小题分
已知一个多项式与的和是，求这个多项式．

24.本小题分
已知：，求的值．

25.本小题分
先化简后求值：，其中．

26.本小题分

如图，在三角形中，，四边形是边长为的正方形，且、、分别在边、、上把三角形绕点逆时针旋转一定的角度．
当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______ ；
当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且：：，求线段的长．

27.本小题分
某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元．
求书店月份该图书的售价；
若月份书店销售该图书获利元，那么该图书每本成本______ 元用含的代数式表示．

28.本小题分
小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．
请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：

如图，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边、分别相交于点、，则四边形与四边形的面积之比的比值为______ ；
如图，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上．
请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分不要求写出画法，但请标注字母并写出结论；
延长与边的延长线交于点，延长与边交于点联结、、，如图所示，当四边形的面积为，四边形的面积为时，求三角形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；
B、是两个相同数的和与差的积，能使用平方差公式，符合题意；
C、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；
D、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意．
故选：．
平方差公式：，依据平方差公式展开之后两个括号里面的或的系数的一组相同，另一组相反．即两相同数之和与差的成绩．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，是解决问题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：有意义的条件是：，
解得：，
即当时，
故选：．
根据当时，有意义，且，即可解答．
本题考查了零指数幂有意义的条件，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：．
、的值都扩大为原来的倍，那么分式的值扩大到原来的倍．
故选：．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

4.【答案】 

【解析】解：当时，
A.中，左边，右边，不符合题意；
B.中，，分母等于，分式无意义，不符合题意；
C.中，左边右边，符合题意；
D.中，分母，不符合题意．
故选：．
根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为的情况．

5.【答案】 

【解析】解：、原图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、只有旋转后重合才是中心对称，说法错误，故此选项不符合题意；
B、对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，说法错误，故此选项不符合题意；
C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形，说法正确，故此选项符合题意；
D、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形，说法错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形定义及性质依次判断即可．
本题考查了中心对称图形，掌握一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心是关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．
本题主要考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】解：单项式的次数是所有字母的指数和，
，
故答案是：．
根据单项式的次数的定义，即可求解．
本题主要考查单项式的次数的定义，理解单项式的次数的定义并找出所有字母的指数是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
根据同类项的定义，可得，，即可求解．
此题考查了同类项的定义：熟练掌握含有相同的字母，且相同字母的指数分别相等的项是同类项是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式先提取公因数，再利用十字相乘法求出解即可．
本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：


，
，
原式．
故答案为：．
去括号，合并同类项，再代入求值即可．
本题考查了整式的化简和整体代入法求值；解题的关键是去括号，根据已知构造相同整式．

13.【答案】 

【解析】解：因为关于的多项式是一个完全平方式，
所以，
故答案为：．
根据完全平方公式：即可得出结论．
本题考查完全平方式；熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据同底数幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘除法是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
先将纳米用米表示，再用科学记数法表示即可．
本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
三角形的周长为，
，
，
五边形的周长．
故答案为：．
根据平移的性质得到，，再将五边形的五条边相加即可得到周长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行或共线且相等．

17.【答案】 

【解析】解：如图：

四边形是长方形，
，
将三角形与三角形分别沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，点、、恰好在同一直线上，
，，，
，
，
故答案为：．
首先根据长方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，，据此即可解答．
本题考查了翻折的性质，熟练掌握和运用翻折的性质是解决本题的关键．

18.【答案】或者 

【解析】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
，
，
故答案为：或．
根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．

19.【答案】解：
． 

【解析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．
本题考查了多项式除以单项式法则，掌握多项式除以单项式的法则是关键．

20.【答案】解：

． 

【解析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．

21.【答案】解：



 

【解析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．
本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底．

22.【答案】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

23.【答案】解：一个多项式与的和是，
这个多项式为：

． 

【解析】根据一个多项式与的和是，可知这个多项式为，然后去括号，合并同类项即可．
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．

24.【答案】解：，
，
，
，
，
即：． 

【解析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值．
本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．

25.【答案】解：





，
当时，原式． 

【解析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，计算时注意平方差公式的运用，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后代入计算即可求出值．
本题考查了负整数指数幂和分式的化简与求值；能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

26.【答案】 

【解析】解：由旋转可知，≌，
由题意可知，，
，
故答案为：；
如图：

设旋转角为，
则，，
：：，
，
，
，
点的对应点落在线段上，
，
由旋转可知，≌，所以等于正方形的面积，求解即可；
由：：得，求出，再结合即可求解．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，熟练利用旋转的性质是解题的关键．

27.【答案】 

【解析】解：设书店月份该图书的售价为元，
依题意得：
，
解得，
经检验是方程的解，
答：书店月份该图书的售价为元；
由可知，月销量为本，
由月份书店销售该图书获利元，
则每本的成本为：元，
故答案为：．
设书店月份该图书的售价为元，根据销售量增加本建立方程求解即可；
依据由月份书店销售该图书获利元，利用售价减去每本获得的利润即可求解．
本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式．

28.【答案】： 

【解析】解：四边形是平行四边形，对角线、相交于点，
，，
，
在和中
，
≌，
同理可得≌，≌，
，，，
，，
，
即四边形的面积与四边形的面积之比为：，
故答案为：：；
根据中的结论画出图如图所示，

平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点、的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于，直线与相交于，
其中，，
，
即；
四边形是平行四边形，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，
，，
，
，



，


，
三角形的面积为．
由四边形是平行四边形，对角线、相交于点，得，，从而得到，即可证明出≌，同理可证明出≌，≌，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案；
根据中的结论画出图并写出相关结论即可；
由四边形是平行四边形得，，由四边形为平行四边形，得，，从而可得，，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积．
本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强．