2023-2024学年广东省深圳市南科大附属光明凤凰学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

2023-2024学年广东省深圳市南科大附属光明凤凰学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.把一元二次方程化为一般形式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.如果，那么下列比例式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.若顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是(    )

A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形
C. 正方形 D. 对角线相等的四边形

6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

7.如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形阴影部分与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.如图，在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则满足的方程是
(    )

 

A.  B.
C.  D.

9.如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

10.如图，边长为的正方形，对角线，相交于，为边上一动点不与，重合，交于，为中点给出如下四个结论：；点在运动过程中，面积不变化；周长的最小值为；点在运动过程中，与始终相等，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.方程的两个实根分别为，，那么的值为______ ．

12.已知黄金矩形的宽为，则这个黄金矩形的面积是______ ．

13.如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为，则的周长为______ ．

14.如图，矩形纸片中，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，若，则的长度为______．

15.如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

16.解方程：

用配方法

17.如图，，分别是和的高，．
求证：∽；
若，，求的长．

四、解答题（本大题共5小题，共39.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
已知关于的方程．
试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根为，求的值．

19.本小题分
如图，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在山海经中就有出现过，被叫做为虔池为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点，测得，，，请根据这些数据求河的宽度．
 

20.本小题分
如图，在四边形中，对角线、交于点，，，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

21.本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．

22.本小题分
综合与实践
【经典再现】
人教版八年级数学下册教科书页题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点求证提示：取的中点，连接
请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出______ ≌ ______ ，进而得到．
【类比探究】
如图，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值用含的式子表示；
【综合应用】
如图，为边上一点，连接，，在的基础上，当，，时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程化为一般形式为，
故选：．
方程移项变形即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的上面看，是一个“田”字，
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

3.【答案】 

【解析】解：、由比例的性质，得与不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得与一致，故B符合题意；
C、由比例的性质，得与不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得与不一致，故D不符合题意．
故选：．
根据比例的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，
∽，
，
，，
，
，
故选：．
根据位似变换的性质得到∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”根据矩形的四个角为直角得到，又为三角形的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同位角相等得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同位角相等得到，根据垂直定义得到与垂直．
【解答】
解：如图：

四边形是矩形，
，
又点、分别是、的中点，
是三角形的中位线，
，
，
又点、分别是、的中点，
是三角形的中位线，
，
，
即．
故选B．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：因为中有一个角是，四个选项的三角形中，有角的三角形只有选项的三角形，
且夹角的两边的比相等：，
因此满足了两边对应成比例且夹角相等．
故选：．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

8.【答案】 

【解析】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，
根据题意可得出方程为：，
故选B．
如果设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程．
考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
：：，
：：，
四边形是平行四边形，
，
∽，
：：：．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，继而可判定∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得：：，问题得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定∽，再利用相似三角形的对应边成比例定理求解．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，、相交于点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形；
，故正确；
的值随着点在运动，先变大，后减少，
面积也先变大，后减少；故错误；
≌，
，
，
设，则，
，
当时，有最小值，最小值为，
周长的最小值为；故正确；
，为中点．

，
点在运动过程中，与始终相等，故正确；
综上，正确，
故选：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由的值随着点在运动，先变大，后减少，根据三角形面积公式即可判断选项错误；
先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项正确；
利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以


．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，再把整理得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

12.【答案】 

【解析】解：黄金矩形的宽为，
黄金矩形的长，
这个黄金矩形的面积．
故答案为．
先根据黄金分割的定义计算出黄金矩形的长，然后根据矩形的面积公式求解．
本题考查了黄金分割：如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．

13.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
的周长：的周长，
的周长为，
的周长为，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到∽，，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
根据对折得，，
，
等边对等角，
，
，
，
故答案为：．
证明，求出，利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
如图，过点作于点首先证明：：，设，，根据，构建方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点作于点．

 在中，，，，
，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，
设，，则，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．

16.【答案】解：原方程整理可得，
则，
或，
解得：或；

，
，
，
则或，
原方程的解为 

【解析】整理成一般式后利用因式分解法求解可得；
配方法求解即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键

17.【答案】证明：，分别是和的高，
，，
，，
，，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，，
，
． 

【解析】由直角三角形的性质得出，可证明∽；
由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

18.【答案】解：

，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
方程有一个根为，
，
整理，得：，




． 

【解析】计算出即可得出答案；
由方程的解的概念得出，代入到计算即可．
本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

19.【答案】解：由题意得，，，，，，
，
，，
∽，
，即，
，
解得，
答：的长为． 

【解析】先根据题意得出∽，再由三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出∽是解题的关键．

20.【答案】解：，
，
平分，

，
，且
，且
四边形是平行四边形，且
四边形是菱形；

四边形是菱形，
，，

，
 

【解析】由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得，由菱形的判定可得结论；
由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可得，即可得的长．
本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解本题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元．
根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，可得结论；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

22.【答案】   

【解析】解：如图，

取的中点，连接，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
故答案为：≌；
如图，

在上截取，连接，
时的中点，
，
不妨设，则，
，
，

由得：，，
∽，
；
如图，

，
可设，，则，
延长，，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
由知：，
，
≌，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
由知：，
，
，
，
，
由得，
，
，舍去，
．
可推出，，，从而≌；
不妨设，则，则，可推出，，从而∽，进而得出结果；
可设，，则，延长，，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，可证得≌，从而，，，可证得∽，从而得出，，由知：，从而得出，从而，，根据得出，进一步得出结果．
本题考查了正方形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．