2023年湖北省武汉市新观察九年级四调数学模拟试卷（一）(含解析）

2023年湖北省武汉市新观察九年级四调数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.“清明时节雨纷纷”这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A. 圆 B. 矩形 C. 等边三角形 D. 线段

4.等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.已知的图象上，，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

 

A.  B.
C. 或 D. 或

8.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本不放回，三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，等边内接于，为上一点，，交于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.欧几里德在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使，表示方程的一个正根的线段是(    )

 

A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.年月日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约万米的中继卫星与地面之间顺利开讲，其中万用科学记数法可表示为______ ．

12.某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋各种尺码运动鞋的销售量如下表则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是______ ．

13.计算的结果是______ ．

14.大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点时测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域时，在点时测得摄像头的仰角为，则的长是______ 结果保留根号

15.已知抛物线，为常数，，过，两点，下列四个结论：；若，则；若点，在抛物线上，且，，则；若，关于的一元二次方程必有两个不等实数根正确的是______ ．

16.如图，若，，，，则≌；如图，，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解不等式，请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式解集为______ ．

18.本小题分
如图，在四边形中，，．
的度数；
平分交于点，，求证：．

19.本小题分
为庆祝中国共青团成立周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

本次调查的样本容量是______，项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中项活动的人数是______；
若该校约有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

20.本小题分

已知的圆心在上，、分别为的切线，切点分别为、，交另一点．
求证：；
若，，求的长．

21.本小题分
利用无刻度直尺完成下列作图．
如图，作点关于的对称点；
如图，作的中点；
如图，点为上一点，作点关于的对称点．
 

22.本小题分
某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第天总销量千克与的关系如图所示，且是的二次函数乙商品从开始销售至销售第天的总销量，，其中是关于的一次函数，其图象如图．
分别求出，与的函数关系；
甲、乙两种商品购进量相差多少；
分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
 

23.本小题分
【模型】如图，正方形，点在上，将绕点顺时针旋转得到，画出图形；
【运用】如图，已知正方形中，点、分别在，上，，过点作于点，交于点，
求证：．
【拓展】
如图，中点为，，，直接写出 ______ ．
 

24.本小题分
已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．
，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
在的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】 

【解析】解：、、中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A、、不符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘法和积的乘方法则求解．
【解答】
解：原式．
故选B．

5.【答案】 

【解析】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

6.【答案】 

【解析】解：的，
反比例函数的图象在第一、三象限，
的图象上，，且，
，且，
，
故选：．
根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中与图象的象限关系是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
即或．
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质．

8.【答案】 

【解析】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有种，
三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：连接，过点作交延长线于，在上取一点，使，如图：



为等边三角形，
，，
又四边形内接于，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
为等边三角形，
，，

，
又，
∽，
：：：：，
，
．
故选：．
连接，过点作交延长线于，在上取一点使，证，在中求出，，进而在中由勾股定理得，则，证为等边三角形得，，据此可证∽，进而得：：，由此得，据此可得的长．
此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，灵活运用三角函数及相似三角形的性质进行计算是解答此题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，属于中档题．设正方形的边长为，，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】
解：设正方形的边长为，，
则，，
在中，
，
，
，
的长为的一个正根，
故选B．

11.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

12.【答案】 

【解析】解：由表知，这组数据中出现次数最多，有次，所以这组数据的众数为．
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．掌握众数的定义是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先通分，再加减．
本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．

14.【答案】米 

【解析】解：由题意可知，米，，，
米，，
，
在中，米，，
米，米，
米，
故答案为：米．
根据题意得出米，，，进而求出米，，在中，求出，即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．

15.【答案】 

【解析】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故正确；
当时，对称轴，
．
当时，，
，
，故正确；
由题意，抛物线的对称轴直线，
由，
．
．
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故错误；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，

，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确．
故答案为：．
依据题意，对称轴，又，故可判断；当时，对称轴，从而，又当时，，故可判断；抛物线的对称轴直线，由，从而得点到对称轴的距离点到对称轴的距离，故可判断；设抛物线的解析式为，从而，计算可以判断．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接，
，
，
，
，，，，
，，，
∽，
，，
，
，
故答案为：．
由直角三角形的性质可得，，，，可证∽，可得，可求的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来为：

原不等式组的解集为：．
故答案为：；
；
．
分别解这两个不等式，把不等式和的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．

18.【答案】解：，
，
，
；
证明：平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出；
根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论．
本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．

19.【答案】解：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人． 

【解析】解：本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是人，
故答案为：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人．
根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．

20.【答案】证明：连接，

、分别为的切线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：在中，
，，
由勾股定理，得，
设，则，，
，，
，
由知，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
∽，
，
即，
解得． 

【解析】连接，证明出或即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证明出结论；
先由勾股定理求出，再利用，利用平行线分线段成比例定理求出半径，最后由∽得到比例线段即可求出．
本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．

21.【答案】在图中，点即为所求；
在图中，点即为所求；
在图中，点即为所求．
 

【解析】根据轴对称变换的性质作出点的对应点即可；
取格点，连接，延长交网格线与点，连接，，作出的中位线，连接交于点，点即为所求；
过点作关于直线的对称点，连接，交与点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图一轴对称变换，三角形中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】解：由题意，设，
．
．
又是关于的一次函数，过，，
．
．
由题意得，，
当时，．
又，
当时，．
，即乙商品比甲商品多购进．
即甲、乙两种商品购进量相差．
第天，乙商品销量：，
当时，．
此时甲商品销量：，
当时，．
答：甲乙均在第天销量最大，分别是、． 

【解析】依据题意，设，结合图象上的点代入计算可以得解；又是关于的一次函数，过，，从而先求出与的关系，再代入可以的的关系式；
依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；
依据题意，设第天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解．
本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．

23.【答案】 

【解析】【模型】解：

证明：如图，过点作交直线于点，

，，
，，，
≌，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：中点为，，，
，，
，，
由可得∽，
，
，
，，
，
，
如图，连接，交于，

，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
【模型】根据题意画出图形即可；
由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，，通过证明∽，可得，即可求解；
由相似三角形的性质和勾股定理分别求出，的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．

24.【答案】解：，
令，得，
解得：，，
，，
，
设交轴于点，交轴于点，如图，

，
，
又，
≌，
，
的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，
，，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，
；
证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，
则，
同理可得：，
，
由知：，
，
，
，
，
，
设的解析式为，
则，
，
，
，
即，
，
，
解得：，
又，
，即直线与直线平行，
一定与定直线平行；
证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得，
，
设，，，
，
，且四边形为平行四边形，
，，
，，
，，
，
点在抛物线上，
，
，
解得：，
直线过定点． 

【解析】令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得≌，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；
联立方程组得，则，同理可得：，结合的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．
设解析式，联立得，设，，，，由平行四边形的性质可得，，可求得，再由点在抛物线上，可得，即，解得：，故直线过定点．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．