备战高考2024年数学第一轮专题复习6.4 求和方法（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习6.4 求和方法（精讲）（提升版）（解析版），共27页。试卷主要包含了公式法求和，裂项相消求和，错位相减求和，分组转化求和，周期数列，倒序相加法等内容，欢迎下载使用。
6.4 求和方法（精讲）（提升版）


考点一 公式法求和【例1】（2022·江苏江苏·高三期末）已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)由可知，，即，由可知，，所以是以12为首项，4为公比的等比数列，所以的通项公式为.(2)由（1）知，，所以,又符合上式,所以,所以，所以的前20项和.【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且.(1)求；(2)证明：当时，.【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)当时，，解得，当时，，即，是以为首项，为公比的等比数列，则，即，(2)由，得，
则，令，则，令，则，当时，，在上单调递增，，即，当且仅当时，取等，得证.2．（2022·湖南·一模）已知数列的前n项和为，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)，，∴，故数列为等比数列，首项为，公比为2；(2)由(1)可知，∴，.3．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由，得， 又，故， 故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)由（1）可知，所以，          所以．
考点二 裂项相消求和【例2-1】（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)选择条件见解析，(2)证明见解析【解析】(1)若选①，为与的等比中项，则，由为等差数列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）∴，；若选②，为等比数列的公比，且，可得，即，即有，即；又，可得，即，解得，此时；(2)∵，∴；∴，得证【例2-2】（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列是等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和，并证明：.【答案】(1)(2)，证明见解析.【解析】(1)设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.由，可得，所以，所以；(2)证明：因为，所以.又，所以.【例2-3】（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，
得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.【例2-4】（2022·广东茂名·二模）已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.(2)由（1）得：，则，，，…，，各式作和得：，又，，，当为偶数时，
；当为奇数时，；综上所述：.【一隅三反】1．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.
又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，可得，即，所以当时，，，，，将上述式子进行累加得，-将代入可得，即.当时也满足上式，所以数列的通项公式.(2)解：由（1）得，则.3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，给出以下三个条件：①，；②；③，.从这三个条件中任选一个解答下面的问题.(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)(2)【解析】(1)若选①：由，得.令，，可得.当时，，，…，，累加得.又，则，则.又也适合上式，所以.若选②：由，可得.又是正项数列，所以，所以，则.当时，.又也适合上式，所以.若选③：由得，当时，，两式作差得，整理得.由于，故，即是首项为1，公差为2的等差数列，所以.(2)由（1）得，，则，所以.4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时也成立，所以.(2)因为所以，所以当为奇数时，；当为偶数时，，由{}递增，得，所以的最小值为.考点三 错位相减求和【例3】（2022·广东茂名·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由可得，
由得，所以，即，所以，，所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.(2)由（1），得，所以，，两式相减得，所以.【一隅三反】1．（2022·广东广东·一模）设数列的前n项和为，满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，得即，即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．(2)由（1）知，则       （1）
       （2）（1）－（2）得所以2．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得
，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.3．（2021·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,
由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知       ①于是．            ②由①②得．        ③又，            ④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：   由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．
那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.考点四 分组转化求和【例4-1】（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)时，，又，解得，由得，时，，两式相减得，，又，所以，是等差数列，所以；(2)由（1），，
，为偶数时，，为奇数时，，所以．【例4-2】（2022·山东日照·模拟预测）已知数列中，，，（），，，，成等差数列．(1)求k的值和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：，，成等差数列，所以，得，得，因为，所以，所以，得．(2)由（1）知， 当n为偶数时，设n＝2k，可得，
即；当n为奇数时，设n＝2k－1，可得，即．综上所述，.【一隅三反】1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，，当时，，当时，上式也成立，所以；(2)解：，设数列的前项和为，则
.2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前2n项的和【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，∴，∴，，，…，，将上述式子左右分别相乘得，∴．∵满足上式，∴．(2)∵，令，，的前项和为，的前项和为，∴，，∴．
3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列中，，，令.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前14项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，又，得，由①得②，①②两式相除可得，则，且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，，. 所以数列的前14项和为.考点五 周期数列【例5】（2022·江西赣州·一模）设正项数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，，所以，又，故；当时，，而，两式相减得，整理得，因为，所以，故是以为公差的等差数列，从而.(2)解：，设，其中，所以.【一隅三反】1．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列的通项公式，，其前项和为，则______．【答案】1010【解析】，周期故答案为：2．（2022·全国·高三专题练习（理））数列的通项公式为，前项和为，则＝________.【答案】【解析】 ，，，，又的周期为，
故答案为：考点六 倒序相加法【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（       ）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】A【解析】∵，∴．又∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ）A．1 B．2 C．2020 D．2021【答案】C【解析】函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，
，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， ∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（       ）A．2018 B．2019C．4036 D．4038【答案】A【解析】，，令，则，两式相加得：，.故选：.