备战高考2024年数学第一轮专题复习1.1 集合（精练）（提升版）（解析版）

1.1  集合（精练）（提升版）

1．（2022·四川·树德中学高三）集合，则（       ）

A． B．

C． D．．

【答案】D

【解析】因,

,所以故选：D

2．（2022·河南新乡·二模）已知集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，故选：B

3．（2022·全国·高三专题练习）集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】要使函数有意义，须满足，即，所以集合，

不等式的解为，所以集合，所以.故选：C.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于集合，.

所以.对于集合，，

所以，所以，所以.

故选：B

5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则集合的子集个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.

6．（2022·全国·高三专题练习）设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图，，此时∅，A错，B，B错，，D错，故选：C

7．（2022·全国·高三专题练习）设集合A＝，集合B＝.则AB＝（       ）

A． B．

C． D．R

【答案】D

【解析】由得，所以，

，时，，

，，由勾形函数知在上递减，在上递增，

时，，时，，时，，所以，

所以，即，，所以．故选：D．

8．（2022·上海·高三专题练习）若、，点集，，，则（       ）

A． B． C． D．以上皆错

【答案】A

【解析】如图，集合表示以为顶点的正方形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为顶点的六边形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为焦点，为长轴（长轴长为）的椭圆内部（不含边界）点的集合，

由图可得，

故选：A．

9．（2022·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（       ）

A．18 B．19 C．20 D．21

【答案】D

【解析】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.

设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，

由Venn图可知，，即，解得，

所以对A，B都赞成的学生有21人.

故选：D

10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数是______.

【答案】0

【解析】因为中的元素是有序实数对，

而中的元素是实数，所以两个集合没有公共元素，即，

所以的元素个数为0.故答案为：0

1．（2022·全国·高三专题练习）设常数，集合，，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】集合，，由，可知

当时，或，，

结合数轴知：，解得，即得；

当时，，，满足，故符合；

当时，或，，

结合数轴知：，解得，即得由①②③知.故选：B.

2．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，即，时成立；

当时，满足，解得；综上所述：.故选：C.

3．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，若⊆，则对应的实数对有

A．对 B．对 C．对 D．对

【答案】D

【解析】因为集合，所以，，

因为，，，，所以，或，或，

①当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

②当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

③当时，则或

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

综上所述：，，或，，或，，或，，共4对．故选：．

4．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模）已知集合A＝{x∈Z|－4x－5<0}，B＝{x|>}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)

A．[3，6) B．[1，2)

C．[2，4) D．(2，4]

【答案】C

【解析】∵A＝{x∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x>}，A∩B有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4.

故答案为C

5．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（理））设集合，则下列说法一定正确的是（       ）

A．若，则          B．若，则

C．若，则有4个元素      D．若，则

【答案】D

【解析】（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，；

综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D

6．（2022·上海·高三专题练习）设集合A=若AB,则实数a,b必满足

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，

，若AB，则有或

7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则的元素个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于集合，任取，令，

对于集合，任取，令，

令，则，可得，

因为且，则，

可集合中能被整除的数为、、，

共有组、数据满足条件，故的元素个数为.

故选：B.

8．（2022·全国·高三专题练习）已知， ，若集合，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以得到；得到；

因为所以，，所以交是否是空集取决于的范围，

因为，所以，

当时，；当时，所以当集合时，实数的取值范围是：

故选：A．

9．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由得，，解得，

因为，所以

所以可得在上恒成立，

即在上恒成立，故只需，

，当时，，故．

故选：B

10．（2022·全国·高三专题练习）设集合，集合. 若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________

【答案】

【解析】解：由中不等式变形得：，

解得或，即或，

函数的对称轴为，

，，，

由对称性可得，要使恰有个整数，

即这个整数解为2，3,

（2）且（3）且

即，

解得，

则的取值范围为，．

故答案为：

11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，则的取值范围是______________．

【答案】

【解析】因为集合A表示如图的边长为2的正方形及正方形的内部，则对角线的长为，

集合B表示以C（a，a）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，且圆心在直线y=x上，

先画出以（0,0）为圆心，半径为 的圆，沿着直线y=x，进行移动，可得当A∩B不等于 时， ，即 ，解得，

故答案为：.

12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围______．

【答案】[1，2]

【解析】由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，

所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，

C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，

①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：

则C⊇（A∩B）等价为：，

解得，1≤a≤2，经检验符合题意；

②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；

C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，

因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；

③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．

综合以上讨论得，a∈[1，2]．

故答案为：[1，2]．

13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．

【答案】0＜t＜1

【解析】要解|f(x)|≥1，需要分类来看，

当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0

∴x≥2或x＝1或x＝0．

当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1

∴﹣2≤x≤0或或，又x＜0∴﹣2≤x＜0或

综上可知B＝{x|-2≤x≤0或或x≥2或x＝1}

∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜1

14．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，则当，且时，实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】根据题意，不等式的解集为，若，且，

则有，解可得或，即的取值范围为；

故答案为：．

15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，

当a＝0时，得，显然不满足题意，

当a>0时，原不等式可化为，

若，则解得或，所以只需满足，解得；

若，则解得或，所以只需满足，解得9<a≤25，

当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，

综上，实数a的取值范围是．

16．（2022·全国·高三专题练习）设，，或，若，且关于的方程无实数解，则实数的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】根据题意得或表示的集合如图所示，

因为若，且关于的方程无实数解，

即构造定义域为上的函数使得时，方程无实数解

所以函数的图象上的点构成的集合可以是以下几种情况：

1），当是图1时，方程无实数解，则；

2），当是图2时，方程无实数解，则；

3），当是图3时，方程无实数解，则.

此外，还有其他情况，但均与这三类问题相类似.

综上，当，且关于的方程无实数解，则实数的取值范围为.故答案为：.

17．（2022·上海·高三专题练习）已知集合中的所有元素之和为，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】令，解得：

①若无实根，即，解得：

此时集合只有一个元素，满足题意

②若有两个相等实根，即，解得：

，解得：       集合为，不满足元素之和为

③若有两个不等实根，即，解得：

设此时方程的两根为，则

若，，此时集合为，不满足元素之和为

若，则，此时集合为，满足元素之和为   

综上所述：故答案为

1．（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

，

或故选：B

2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则

；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（       ）

①若为一个“群”，则必为无限集；

②若为一个“群”，且，，则；

③若，都是“群”，则必定是“群”；

④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；

②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确；

③：设，

若，一定有，因为，都是“群”，

所以，因此，若，所以，，故本叙述正确；

④：因为，，一定存在且，且，

因此且，所以，因此本叙述正确，故选：C

3．（2022·全国·高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，，

则，，

，

，，故；

，

，即，故；

，

，即，故；

所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个.

故选：B.

1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【解析】由图像可知，，则，

因为棱长为，，所以，，

故集合中的元素个数为，故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习（理））设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（       ）

A．32 B．56 C．72 D．84

【答案】B

【解析】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；

若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有6+5+4+3+2+1=21个.

若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有5+4+3+2+1=15个.

若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有4+3+2+1=10个.

若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有3+2+1=6个.

若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有2+1=3个.

若6,8,10在在集合A内，只有1个.

总共有21+15+10+6+3+1=56个

故选：B.

3．（2022·全国·高三专题练习）设x，y∈R，集合A＝{|ax+by+1＝0}，B＝{|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，若对所有的∈{|a＜0，b＜0}，则集合C＝{|}所表示的图形的面积等于___．

【答案】2π

【解析】集合A＝{|ax+by+1＝0}，B＝{|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，

∴直线和圆相切，

∴，即a2+b2＝1，

∵∈{|a＜0，b＜0}，集合C＝{|}，

∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限圆弧上）

∴集合C中圆的边界的移动是如图所示的区域，

∴集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，

∴集合C的面积＝π+π＝2π，

故答案为：2π．

4．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，

由题设可知：，

解得：，，

，

，

令，则，

当时，，

当时，，

（1）（2）（3）（4），

又（1），（2），（3），（4），

集合中有2个元素，

即集合中有2个元素，，．故答案为：．

5．（2022·全国·高三专题练习）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为____

【答案】2401

【解析】当B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为

又A⊆B

则①A为n元集时，则p（A）＝2n且A的个数为

②A为n﹣1元集时，则p（A）＝2n﹣1且A的个数为

以此类推

③A为元集时，p（A）＝20且A的个数为

则p（A）p（B）＝2n（+…+）

＝

＝

当n依次取0，1，2，3，4时

p（A）p（B）的和为+…+＝2041

故答案为：2401．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合A，B都含有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C含有3个元素，且满足C⊂A∪B，C∩A≠∅，C∩B≠∅，则满足条件的集合C共有____个.

【答案】1028

【解析】依题意设A＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，x1，x2，x3，x4}，

B＝{b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，x1，x2，x3，x4}，

当C⊆（A∩B）时，集合C共有＝4个；

当C中含有A∩B中2个元素时，集合C共有＝96个；

当C中含有A∩B中1个元素时，集合C共有＝480个；

当C中不含A∩B中元素时，集合C共有+＝448个

故满足题意得C共有1028个．

故答案为：1028个.