备战高考2024年数学第一轮专题复习1.3 复数（精练）（提升版）（解析版）

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1.3 复数（精练）（提升版）
题组一 复数的基本知识
1．（2022·内蒙古赤峰）若复数z满足，则（       ）
A．
B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则
【答案】D
【解析】，则，
对于A，，故A错误，
对于B，，不是纯虚数，故B错误，
对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误，
对于D，点在角α的终边上，则，故D正确故选：D
2．（2022·广东·二模）(多选）已知复数z的共轭复数是，，i是虚数单位，则下列结论正确的是（       ）
A． B．的虚部是0
C． D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BC
【解析】由题意，，
，A错；
，虚部是0；B正确
；C正确
，对应点为，在第一象限，D错；
故选：BC．
3．（2022·山东潍坊·二模）（多选）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．
C．若是纯虚数，那么
D．若在复平面内对应的向量分别为（为坐标原点），则
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，；
又，，B正确；
对于C，为纯虚数，，解得：，C正确；
对于D，由题意得：，，，
，D正确.
故选：BCD.
4．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（       ）
A． B．
C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限
【答案】AC
【解析】因为为实数，所以，解得，
所以，，所以，故A正确，
，故B错误，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误．
故选:AC．
5（2022·湖南湘潭·三模）（多选）已知复数，，则（       ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】由题可知，，A不正确；，B正确；
，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.
6．（2022·广东佛山·二模）（多选）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A． B．在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】ACD
【解析】所以故A正确
，则在复平面上对应的点为位于第三象限故B错误


故C正确
故D正确故选：ACD
7．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选）已知复数在复平面内对应的点的坐标为
，则下列结论正确的是（       ）
A． B．复数的共轭复数是 C． D．的虚部为
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，，，虚部为.故ABC错误，D正确.故选：D
8．（2022·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（       ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】D
【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
题组二 复数的模长

1．（2022·全国·高三专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A

3．（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（       ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
【答案】D
【解析】对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；
对于B，设（，），（，）．
由，得，
则，而不一定等于
，故错误；
对于C，当时，有，故错误；
对于D，设，，则，正确
故选：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设复数，对应的点为，
，即，，
点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
设复数，对应的点为，
，即，
化简可得，点的轨迹是一条直线，
表示点与点的距离，即圆上的一点到直线的距离，
圆与直线相离，
圆心到直线的距离，
故的最小值为，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可设，则有，又因为，
即，所以，
可设，，（为任意角），
则，
当时取到最大值；当时取到最小值，所以实数的取值范围是.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（       ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】D
【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；
B：因为，所以，因此本选项结论正确；
C，D：设，在复平面内对应的点为，设
因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，
因此，
，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
7（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
则表示点到点的距离是到点距离的倍.
则，
化简得：，
即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.
设，因为，所以点和点距离为3，
所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：

表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（       ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：

所以，
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足：，那么的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；
表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；
，表示的轨迹是直线，如图所示：

表示直线上的点到圆和圆上的点的距离，
先作出点关于直线的对称点，连接, 与直线交于点.
的最小值为.
故选：A
题组三 复数的几何意义

1．（2022·全国·江西师大附中）已知复数，则z在复平面内对应的点在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由，所以z在复平面内对应点为 ，位于第二象限，故选：B
2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（       ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，解得．故选：A．
3．（2022·贵州）复数（其中为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】复数
所以对应点为，即在复平面的第二象限内.故选：B
4．（2022·湖南·一模）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.故选：A
题组四 复数与其他知识的综合运用

1．（2022·全国·高三专题练习）设n是偶数，，a､b分别表示的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开通项公式通项公式为，
因此当为偶数时，项的系数为实数，其项，又，，是偶数，
所以正的项有，负的项有项．即，，
所以．故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，得，
因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，
所以，即，
设，解得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知（，为虚数单位)，又数列满足：当时，；当时，为的虚部．若数列的前项和为，则（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的通项公式：，
，
依题意得：时，，
时，，
．
故选：．
5．（2022·全国·高三专题练习）设复数(为虚数单位)，若对任意实数，，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由，得，
由复数模的几何意义知，表示复平面上的点与点间的距离，而点在单位圆上，要使恒成立，则点必在圆上或其内部，故，解得.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（       ）

A．|eix|＝1 B．cos x＝
C．cos x＝ D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABD
【解析】因为eix＝cos x＋isin x，所以|e ix|＝，故A正确；
因为eix＝cos x＋isin x，所以，则cos x＝ ，故B正确C错误；
因为，，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）设复数，则 ______.
【答案】15
【解析】，
所以
.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的二项展开式中的常数项的值是，若(其中是虚数单位)，则复数的模___________.(结果用数值表示)
【答案】
【解析】的二项展开式的通项为：
令，得，可得常数项为

，则复数的模
故答案为：5
9．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数为偶函数，则＝________.
【答案】
【解析】由于为偶函数，所以，
即，

，
所以.
设，
则

故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中
是坐标原点，则函数的最小正周期为________.
【答案】
【解析】，，
则

函数的最小正周期为
故答案为
题组五 解复数的方程

1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（       ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．已知复数，，，若，则
C．若关于x的方程（）有实根，则
D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则
【答案】D
【解析】若，，则，故A错误；
若，满足，故B错误；
若关于x的方程（）有实根，，
因为，所以，所以，故C错误；
将代入方程，得，
即，所以，得，故D正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且
，若向量，则向量的取值范围为_________
【答案】
【解析】不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而   ①，
又因为无实根，
所以   ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则______．
【答案】1
【解析】因为实系数一元二次方程的一根为，
所以根据虚根成对定理可得，实系数一元二次方程的另一共轭虚根为，
所以根据韦达定理得，，
所以，，
所以.
故答案为：.
4．（2022·上海徐汇·二模）若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则____．
【答案】
【解析】因为为实系数一元二次方程的一根，
所以也为方程的根，
所以，解得，所以；
故答案为：
题组六 复数的综合运用

1．（2022·重庆南开中学模拟预测）（多选）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：若 ，则，故，所以A正确；
对于B：若，则，所以B正确；
对于C：设 ，
则 ，故 ，所以C正确；
对于D：如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.

故选：ABC
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）（多选）已知复数（且），是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项，，，所以，故正确；
对于B选项，，，，故错误；
对于C选项，，，，故正确；
对于D选项，，，，
所以当时，，当时，，故错误.
故选：AC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（       ）
A．对任意的，
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的实部为
D．与互为共轭复数
【答案】ABD
【解析】对于A选项，，A正确；
对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；
对于C选项，，实部为，C错误；
对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.
故选：ABD.
4．（2022·江苏·南京大学附属中学高三阶段练习）（多选）下列命题中正确的有（       ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
【答案】AD
【解析】对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：AD
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列命题中，正确命题的个数为（       ）
A．两个复数不能比较大小；
B．若是纯虚数，则实数；
C．的一个充要条件是；
D．的充要条件是.
【答案】CD
【解析】对于A选项，两个复数为实数时，可以比较大小，故A选项错误；
对于B选项，若是纯虚数，则且，解得，故B选项错误；
对于C选项，若，则的虚部为，，反之，若，则的虚部为，故C选项正确；
对于D选项，设，若，则，，若，则，所以，
故D选项正确.
故选：CD
6（2022·全国·高三专题练习（文））（多选）设，，为复数，.下列命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A：取，满足，但是不成立，故A错误；
对于B：当时,有，又，所以,故B正确;
对于C：当时,则,所以,故C正确;
对于D：当时,则,可得.
因为，所以.故D错误
故选：BC
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数，是的共轭复数，则（       ）
A． B．
C．复数在复平面内所对应的点在第一象限 D．
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，
则，所以复数在复平面内所对应的点在第一象限.
，则选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD
8．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题为真命题的是（        ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
【答案】ACD
【解析】A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列结论正确的是（       ）
A．若复数满足，则为纯虚数
B．若复数，满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则
【答案】CD
【解析】对于A：设，则，
由于，所以，故，
当时，为实数，故A错误；
对于B：设，，
所以，，
由于复数，满足，
所以，
则，整理得．
所以，故B错误；
对于C：设，所以，
由于复数满足，所以，故，故C正确；
对于D：设，因为，所以，
所以该曲线为以为圆心，1为半径的圆，
故，，所以，，故D正确．
故选：CD．
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（       ）
A．点的坐标为
B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．与z对应的点z间的距离有最小值
【答案】ACD
【解析】复数在复平面内对应的点为，A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；
设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，故D正确.
故选：ACD