备战高考2024年数学第一轮专题复习2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）（解析版）

2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）

考点一 不等式的性质

【例1-1】（2022·浙江）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足；

对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；

对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；

下面证明B

法一：不等式等价于，而.函数在上单增，故.

法二：若，则，故，矛盾.故选：B

【例1-2】（2016·浙江）设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】选项A，要证，只需证即可.

由题意可知，则成立，则成立.

要证，只需证

由题意可知，则，

又因为，所以，则，即成立

故选项A成立，不符合题意.

选项B，要证，只需证即可.

由题意可知，则，成立.

所以成立，即.

要证，只需证，只需证

由题意可知，则，，，.

所以成立，即成立.

故选项B成立，不符合题意.

选项C，要证，只需证即可.

由题意可知则.

又因为，所以.

所以成立，即.

要证，只需证即可

由题意可知则.

又因为，所以.

所以成立，即成立.

故选项C成立，不符合题意.

选项D，令，，则

即，所以不成立，符合题意.故选：D

【一隅三反】

1．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；

对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确

对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；

对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；

故选：B

2．（2022·全国·高三专题练习）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】实数，，满足，

所以对于：当，，时，不成立，故错误；

对于：当，，时，，故错误；

对于：由于，所以，故，故正确；

对于：当，，时，无意义，故错误．故选：．

3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】取，则，故A选项错误；

取，，，则B选项错误；

取，，则，，即，

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：，令，，

于是时，递增；时，递减；

所以时，有极小值，也是最小值，

于是，当且仅当取得等号，

由，当时，同时取对数可得，，

再用替换，得到，当且仅当取得等号，

由于，得到，，，即，C选项正确. 故选：C.

考点二 不等式恒成立

【例2-1】（2022·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为.选：D.

【例2-2】（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则.

（1）当时，则，

令，.故.

（2）当时，则，令

①当时，，则

②当时，，则故

（3）当时，则在上恒成立，故.综上所述：故选：A.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，对一切均大于0恒成立，

所以 ，或，或，

解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵不等式的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，

故a＝2符合题意；

当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，

则，解得，

综合①②可得，实数a的取值范围是．故选：B．

3．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若不等式对一切恒成立，则，即

，在单调递增，，所以.故选：C

4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】由选项可知，故原不等式等价于，

当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B

考点三 一元二次方程（不等式）根的分布

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（       ）

A． B． C．4 D．-4

【答案】D

【解析】由有两个实数根，可得，

所以．故选：D．

【例3-2】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以解得：，即，

故答案为：．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是______.

【答案】

【解析】由韦达定理：， ，故答案为：.

2．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______

【答案】

【解析】解：因为不等式的解集中恰有个正整数，

即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为，

所以这三个正整数为，所以，故答案为：.

3．（2021·全国·专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令

由题可知：

则，即故选：C

4．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(       )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.

考点四 比较大小

【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵，构造函数，，

令，则，∴在上单减，∴，

故，所以在上单减，

∴，

同理可得，故，故选：C.

【例4-2】．（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，又，所以，所以；故选：AD

【一隅三反】

1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，

又因为，因为，所以，

又因为，

所以且，所以，所以，故选：B.

2．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以.

取，，得，故A选项不正确；

取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得

，故C选项不正确；

当时，则，所以，所以，

当时，则，，所以，

当时，，所以，综上得D选项正确，

故选：D.

3．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，

当时，，此时；

，故；

，；

当时，，此时，，故；

，；

故ABC均错误；

D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，

设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确故选：D

考点五 解含参的一元二次不等式

【例5】（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式．

【答案】答案见解析

【解析】若，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．

若，原不等式等价于，解得或x>1．

若，原不等式等价于．

①当时，，无解；

②当时，，解，得；

③当时， ，解，得；

综上所述，当时，解集为或；   

 当时，解集为{x|x>1}；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】原不等式可变形为：，

当时，，所以，即原不等式的解集为；

当时，，所以，即原不等式的解集为；

当时，，令，所以，

若时，，所以原不等式的解集为，

若时，，所以原不等式的解集为，

若时，，所以原不等式的解集为，

综上可知：时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为．

2．（2022·上海·高三专题练习）解关于的不等式：.

【答案】答案见解析

【解析】当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得，或；

当时，，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，此时无解；

当时，，不等式化为，解得；

综上，时，不等式的解集是；

时，不等式的解集是或；

时，不等式的解集是；

时，不等式无解；

时，不等式的解集是.

3．（2022·全国·高三专题练习）设函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若（1），，求的最小值．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．

【解析】（1）由题意可得，即为，

即，

当时，，由，解得或；

当时，，可得；

当时，，由，解得；

当时，，由，解得．

综上可得，时，解集为或；时，解集为；

时，解集为；时，解集为；

（2）由，，可得，，

可得，

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．

所以的最小值为．